22. If a>b>0 and $(a-b)(a^2-3b-1)$ is a prime, find the value of a and b
เพราะว่า $(a-b)(a^2-3b-1)$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น
กรณี 1 $a-b=1$ และ $a^2-3b-1=จำนวนเฉพาะ$
จาก a-b=1 จะได้ a=b+1 ทำให้ $a^2-3b-1=(b+1)^2-3b-1=b^2+2b+1-3b-1=b^2-b=b(b-1)$
เพราะว่า $a^2-3b-1=จำนวนเฉพาะ$ ดังนั้น b(b-1) เป็นจำนวนเฉพาะด้วย นั่นคือ b หรือ b-1 เท่ากับ 1
ถ้า b=1 จะได้ b-1=0 ซึ่งทำให้ b(b-1)=0 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ถ้า b-1=1 จะได้ b=2 ซึ่งทำให้ b(b-1)=2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ และจะได้ว่า a=3
ดังนั้น a=3 b=2
กรณี 2 $a^2-3b-1=1$ และ $a-b=จำนวนเฉพาะ$
จาก $a^2-3b-1=1$ จะได้ $a^2-3b=2\Rightarrow 3b=a^2-2\Rightarrow b=\frac{a^2-2}{3} $
จะได้ $a-b=a-\frac{a^2-2}{3}=\frac{-a^2+3a+2}{3}$
เพราะว่า a>b ดังนั้น $a-b=\frac{-a^2+3a+2}{3}>0$
เพราะว่า $\frac{-a^2+3a+2}{3}=-\frac{1}{3}(a-\frac{3}{2} )^2-\frac{17}{4} <0 $
ดังนั้นไม่มีจำนวนที่สอดคล้อง
ตอบ a=3 b=2 เพียงกรณีเดียว
|