solution ยังผิดอยู่แต่สามารถแก้ได้ครับ
บรรทัดสุดท้ายถ้า $r+1=n$ ก็จะผิดครับ เช่นในกรณี $1,1,1,...,1,n+1$
เนื่องจากว่าดูเหมือนจะไม่มีใครใช้วิธีที่ hint ให้ไป ขอเฉลยวิธีผมเลยนะครับ แต่ยังไม่ต้องดูก็ได้
induction บนจำนวนของจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ในลำดับดังกล่าว
ให้ $P(k)$ แทนข้อความ ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวกซึ่ง $a_1+a_2+\cdots+a_n=2n$ และมีจำนวนที่มีค่ามากกว่า $1$ อยู่ $k$ ตัว
โดยมีเงื่อนไขคือมีจำนวนที่มากกว่า $2$ อยู่อย่างน้อย $1$ ตัว (ตัดเงื่อนไข $n$ เป็นเลขคู่ออก)
Case $k=1$ จะได้จำนวนที่มากกว่า $1$ นั้นคือ $n+1$ ขัดแย้งกับโจทย์
จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $P(k)$ เป็นจริงสำหรับ $k \ge 2$
Base Step $k=2$ เหมือน step induction
Base Step $k=3$ สมมติจำนวนที่มากกว่า $1$ คือ $l,m,p$ จะต้องมีเลข $1$ อยู่ $l+m+p-6$ ตัว
ขั้นนี้เป็นขั้นที่ใช้เงื่อนไขมีจำนวนมากกว่า $2$ จึงสมมติ $l \ge 3$ และเลือก $S=\left\{ \overbrace{1,1,...,1}^{l-3},m,p \right\}$
Inductive Step สมมติ $P(k-2)$ ใช้ได้ จะพิสูจน์ $P(k)$ ใช้ได้
สมมติ $l,m \ge 2$ (เลือก $l,m$ ให้เหลือเลขที่เกิน $2$ อยู่) จะมีเลข $1$ อยู่อย่างน้อย $l+m-4$ ตัว
แบ่งเป็นสองกลุ่มที่ผลบวกเท่ากันได้ดังนี้
$\left\{ \overbrace{1,1,...,1}^{m-2},l \right\}$, $\left\{ \overbrace{1,1,...,1}^{l-2},m \right\}$
ตัดออกและใช้ induction
Case เป็น $2$ หมด trivial, เฉพาะเคสนี้ที่ใช้เงื่อนไข $n$ เป็นคู่
ส่วนที่ hint ให้ใช้ $x_i$ แทนจำนวนของตัวเลข $i$ จะได้ความสัมพันธ์นี้ครับ ซึ่งบอกจำนวนเลข $1$ ที่ต้องมี
$x_1=x_3+2x_4+3x_5+\cdots+(n-2)x_n$