อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion
อีกข้อครับ
จงแสดงว่า $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{a+b+c}{3} $
สำหรับ a,b,c>0
|
Cauchy Schwarz
โดยอสมการ Cauchy Schwarz,
$$ (\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}) (\sum_{cyc} a(a^2+ab+b^2) \geq (\sum_{cyc}{(a^2})^2 $$
$$ \Leftrightarrow (\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}) (a+b+c)(a^2+b^2 + c^2) \geq (\sum_{cyc}{(a^2})^2 $$
$$ \displaystyle\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}}{\displaystyle\sum_{cyc}a}\;\;\;[1]$$
โดยอสมการ Cauchy Schwarz,
$$ (\sum_{cyc}{a^2})(\sum_{cyc}1) \geq (\sum_{cyc}a)^2 $$
$$ \frac{\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}}{\displaystyle\sum_{cyc}a}\geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}{a}}{3}\;\;\;[2]$$
จาก [1], [2], จะได้
$$ \sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}a}{3}$$