นิยาม * (Dirichlet convolution) : $f*g (n) = \sum_{d | n} f(d)g(\frac{n}{d})$.
ให้ $\mu, \phi, I$ แทน ฟังก์ชันโมเบียส (Mobius function), ออยเลอร์-ฟี ฟังก์ชัน และฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity) ตามลำดับ
ต้องการจะหาค่าประมาณของ $$\sum_{n \leq x} \frac{1}{\phi(n)} = O(\log x)$$ โดยทำตามขั้นตอนประมาณนี้ครับ
($f(x) = O(g(x))$ ถ้ามี $x_0, M$ ซึ่ง $|f(x)| \leq Mg(x)$ for all $x \geq x_0$)
1) แสดงว่า $$\frac{1}{\phi} = \frac{1}{I} * f,$$ $f := \frac{\mu^2}{I\phi}$
ซึ่งแค่คำนวณปกติ ไม่มีปัญหาครับ
2) $\sum_{n=1}^\infty f(n) = O(1)$, นั่นคือ อนุกรมลู่เข้า
ขั้นตอนนี้ก็ทำได้แล้วครับ
3) สำหรับ $n \geq 2,$ $$\sum_{n \leq x} \frac{1}{\phi(n)} = O(\log x).$$
ติดตรงขั้นตอนนี้ครับ คิดว่าน่าจะต้องใช้ข้อมูลจาก 1), 2) เนื่องจาก 1) นั้น $$\frac{1}{\phi} = \frac{1}{I} * f$$ การประมาณน่าจะใช้ Dirichlet hyperbola method (
http://planetmath.org/dirichlethyperbolamethod)
ลองทำตามตัวอย่าง แต่ไม่ค่อยเข้าใจ ติดทำต่อไม่ได้ครับ
พอมีใครให้ความช่วยเหลือได้มั้บครับ
ขอบคุณล่วงหน้าครับ