1). น่าจะตอบ 32 (2 ห้าตัว) แต่ proof ยังไงไม่รู้
=====================
2). หา $m, n$ ก่อน แยกตัวประกอบ $2541$ ได้ $3\times 7\times 11^2$
ให้ $d = $ หรม ของ $m, n$ และ $m=da, n=db$
จะได้ $m^2-n^2=(m-n)(m+n)=d^2(a-b)(a+b)$
ดังนั้น $d=11$ และ $a-b=3, a+b=7$ ได้ $m=55, n=22$
จัดรูปสมการ (ค) จะได้ $ak+429k+a=3003$
$(a+429)(k+1)=3432=2^3\times 3\times 11\times 13$
จากสมการ จะได้ว่า $a>429$ และ $k>1$
จะได้ $k+1$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $2, 3, 4, 6$
ดังนั้น ผลบวกของค่า $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ $11$
=====================
3). $[a,b]\geqslant b$ เสมอ
ดังนั้น $\frac{1}{[a,b]}\leqslant \frac{1}{b}$
เพราะฉะนั้น $\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}\leqslant \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$
ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ ซึ่งจะมากที่สุดเมื่อ $[a,b]=b, [b,c]=c, [c,d]=d$
ถึงตรงนี้นึกเลขเอาก็น่าจะได้ ให้ $a=1, b=2, c=4, d=8$ เพราะว่าเลขยิ่งน้อยค่าที่ต้องการยิ่งมาก
แต่ถ้าจะลองทำต่อ ให้ $d=cx, c=by, b=az, x, y, z>1$
ได้ว่า $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{az}+\frac{1}{ayz}+\frac{1}{axyz}$
ซึ่งเศษส่วนนี้จะมากที่สุดก็ต่อเมื่อ $a,x,y,z$ มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
ดังนั้น $a=1, x=y=z=2$ จะได้ค่าที่มากที่สุดคือ $\frac{7}{8} $
=====================
ข้อ 3 ไม่แน่ใจเหตุผลแต่คิดว่าคำตอบถูก รบกวนชี้แนะด้วยครับ
|