อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ThirdkunG
1.จงแสดงว่า \[ x^2 + y^2 = z^3 \] มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่จำกัดจำนวน
|
parametric solution อันหนึ่งของข้อนี้คือ $$ (a^3-3ab^2)^2 + (3a^2b-b^3)^2 = (a^2+b^2)^3 $$ ซึ่งเป็นคำตอบอันที่นิยมใช้ตอบโจทย์ข้อนี้กันครับ
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile
ข้อ 1. ครับ
จาก $x^2+y^2=z^3$
คูณทั้งสมการด้วย $k^6$ ($k$ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ) จะได้ว่า
$k^6x^2+k^6y^2=k^6z^3$
$(k^3x)^2+(k^3y)^2=(k^2z)^3$
นั่นคือ ถ้า $(x,y,z)$ เป็นคำตอบแล้ว $(k^3x,k^3y,k^2z)$ จะเป็นคำตอบด้วย
และเราพบว่า สมการดังกล่าวมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบ (ลองหาดูครับ)
ดังนั้น สมการดังกล่าวจึงมีคำตอบไม่จำกัดจำนวนครับ
|
คำตอบของคุณ Mathophile เป็นแบบที่น่าสนใจมากครับ ผมยังไม่เคยเห็นใครตอบแบบนี้เลย
เราสามารถเลี่ยงในส่วน trial & error ได้โดยเลือก $a,b\in\mathbb N$ มา แล้วให้ $c=a^2+b^2$ เสร็จแล้วเอา $c^2$ คูณตลอดครับ
เทคนิคแนวๆนี้นี่แหละที่สามารถนำไปแก้
โจทย์ข้อ 116. ของผมในกระทู้ True - False Marathon ได้
ป.ล. คุณ Mathophile เป็นเด็กโอฯ รึเปล่าครับ