สำหรับโจทย์ที่ผมตั้งไว้มี
สมมติให้ $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ เป็นผลเฉลยของสมการ $
\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))$ โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นคือ $\mathbf{x}_1(t_0),\mathbf{x}_2 (t_0)=\mathbf{x}_0$. ต่อไปจะแสดงว่า \[ \mathbf{x}_1(t) = \mathbf{x}_2(t), \; \; \forall t \geq t_0\]
เนื่องจาก $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ เป็นผลเฉลยจะได้ว่า \[ \dot{\mathbf{x}_1}= \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) \Rightarrow \mathbf{x}_1(t) - \mathbf{x_0} = \int_{t_0}^t\mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt \] \[ \dot{\mathbf{x}_2}= \mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t))\Rightarrow \mathbf{x}_2(t) - \mathbf{x_0} = \int_{t_0}^t\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) dt \]
ดังนั้น \[ \mathbf{x}_1(t) - \mathbf{x_2}(t) = \int_{t_0}^t \left( \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt -\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) \right) dt \]
พิจารณา \[ \begin{array}{ccl}\|\mathbf{x}_1(t) - \mathbf{x_2}(t)\| &=& {\displaystyle \| \int_{t_0}^t \left( \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt -\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) \right) dt \| } \\
& \leq & {\displaystyle \int_{t_0}^t \| \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt -\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) \| dt } \\
& \leq & {\displaystyle k \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \| } \; \; \; ...(*)
\end{array}\]
นิยาม $z(t)= {\displaystyle \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \|dt }\; \; \Rightarrow \; \; \dot{z}(t) = \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \|, \;\; \; z(t_0)=0 $
จาก (*) จะได้ว่า \[ \dot{z}(t) - kz(t) \leq 0 \] คูณด้วย $e^{-kt}$ จะสามารถจัดรูปได้เป็น \[ \frac{d}{dt}\left( e^{-kt}z(t) \right) \leq 0 \]
อินทิเกรตจาก $t_0$ ถึง $t$ จะได้ว่า \[ e^{-kt}z(t)-e^{-kt_0}z(t_0) \leq 0 \Rightarrow z(t)\leq 0, \;\; \forall t\geq t_0\]
แต่เนื่องจาก $z(t)= {\displaystyle \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \| dt} \geq 0 $ จึงได้ว่า $z(t)=0, \;\; \forall t\geq t_0$
ดังนั้นสำหรับทุก $t\geq t_0$ จะได้ \[ \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \|dt =0 \Rightarrow \|\mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \| =0 \Rightarrow \mathbf{x}_1(t) = \mathbf{x}_2(t) \]
ตามต้องการ
รบกวนตรวจสอบดูด้วยนะครับ หรือเสนอวิธีง่ายกว่านี้ก็ดีนะครับ เพราะผมก็ไม่รู้ว่าของผมถูกไหม
