[Aquila]

จากโจทย์เป็น coloring 2 สีทั่วระนาบ $\mathbb{R}^2$

ดังนั้นสามารถเลือกให้จุด XY ห่างกัน 2 หน่วยที่มีสีเดียวกันได้

ต่อมาสร้างให้ Z เป็น Midpoint XY กางวงเวียนรัศมี 1 หน่วยมี Z เป็น center

วาดวงกลมขึ้นมา เลือกให้จุด $a_{1}$ อยู่บนวงกลมที่ทำให้ $a_{1}X=1$ และ $a_{1}Y=\sqrt{3}$

โดยที่ $a_{1}$ อยู่ในควอดรัน ซ้ายบน จากนั้นสร้าง $a_{2},a_{3},a_{4}$ ไล่ไป

สร้างแบบสมมาตรลักษณะเดียวกันวนตามเข็ม ก็เท่ากับว่ามี 6 จุดบนวงกลมในระนาบ

เรียงตามเข็มเป็น $a_{1},a_{2},Y,a_{3},a_{4},X$ เลือกให้ $a_{i}$ เป็นนก 4 ตัว

เลือกให้สี 2 สีเป็นรัง 2 รัง จากหลักรังนก จะมี $a_{i}$ อย่างน้อย $\left\lceil\,\frac{4}{2}\right\rceil = 2$ ที่มีสีเดียวกัน

ถ้าหากมีอย่างน้อย 2 หรือ 3 จุด ที่ต่างกับสีของ XY ให้เลือกสีที่เหลือ จะได้ตามที่โจทย์ต้องการ

ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณาแค่กรณีที่ มี 4 จุดพอดีที่มีสีต่างกับ XY (case ที่ $a_{i}$ สีเดียวหมด แต่ต่าง XY)

จากการสร้างตอนแรกเรามี $Xa_{1}=Xa_{3}=Ya_{4}=Ya_{2}=1$

และมี $Ya_{1}=Ya_{3}=Xa_{4}=Xa_{2}=\sqrt{3}$

พิจารณารูป 6 เหลี่ยมที่มี ต่อจากนี้จะพิสูจน์ว่ารูป 6 เหลี่ยมเป็น regular 6-gon

เพราะว่าจากการสร้างจะได้ $Za_{2}=ZY=1$ (รัศมี) และเท่ากับ $Ya_{2}$ ด้วย (เพราะสร้าง)

จะได้สามเหลี่ยมด้านเท่ามุม 60 พอดี ทำแบบเดียวกันกับ $ZXa_{1}$ จะได้ด้านเท่าเหมือนกัน

ดังนั้นมุม $a_{1}Za_{2}$ จะเท่ากับ 60 ด้วย และจาก cosine law จะได้ว่า $a_{1}a_{2}=1$ ด้วย

ทำแบบเดียวกันจะได้ว่า $a_{4}a_{3}$ ก็เท่ากับ 1 เหมือนกัน ดังนั้นรูปนี้เป็น regular 6-gon

จากการที่เป็นรูป reg.... (ช่างมันเหอะ) มันจะได้ $a_{2},Z,a_{4}$ collinear ดังนั้น $a_{2}a_{4}$

มีขนาดเป็น 2 และผ่าน Z มันจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านตามที่โจทย์การ

และจากที่แบ่ง case ไว้ตอนต้นคือมีสีเดียวกันหมด 4 จุดแต่ต่างกับสีของ XY

เลยได้ว่ามีสามเหลี่ยมตามที่โจทย์ต้องการที่ได้จากจุดยอด 3 ใน 4 จุดของ $a_{i}$ ก็จบ

ปล.ที่พิมพ์ให้ด้วยแนวคิดคล้ายๆกันเพราะเห็นว่า solution ข้างบนยังไม่สมบูรณ์ครับ

คือ ABC ที่ได้เป็นมุมฉากก็จริง แต่ความยาวไม่มีการแสดงว่าเป็น $1,\sqrt{3}$ ตามโจทย์