อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm
เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการใช้ภาษา ผมจะขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยใช้สัญลักษณ์ทางเซตดังนี้นะครับ.....
กำหนดให้....
$$A=\left\{\,(x,y,z)\in R^{+}\times R^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
$$B=\left\{\,(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$
จากเซต $A$และ$B$ ข้างต้นจะได้ว่า $B\subset A$
แต่จากการหาผลเฉลยของเซตคำตอบของ $A$ โดยใช้เวลาอยู่พอสมควรแล้ว
ผมสรุปเซตคำตอบของ $A$ ได้ทั้งหมด $4 ชุดคำตอบ$แล้วครับ (มันยังมีอีก.........)
$$ชุดที่1....(x,y,z)=((9+\sqrt{5} )s,(9-\sqrt{5})s,12s)....เมื่อ 12s\in I^{+}$$
$$ชุดที่2....(x,y,z)=((12+\sqrt{33} )s,(12-\sqrt{33})s,18s)....เมื่อ 18s\in I^{+}$$
$$ชุดที่3....(x,y,z)=((18+\sqrt{142} )s,(18-\sqrt{142})s,30s)....เมื่อ 30s\in I^{+}$$
$$ชุดที่4....(x,y,z)=((36+\sqrt{899} )s,(36-\sqrt{899})s,66s)....เมื่อ 66s\in I^{+}$$
ซึ่งจากเซตคำตอบดังกล่าวยังไม่มี $(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}$
แต่คาดว่าผลเฉลยมันน่าจะมีเป็นอนันต์ชุด(ไม่แน่ใจ) ดูจากแนวโน้มแล้ว มันก็น่าจะมีสัก 1 ชุดคำตอบน่าที่ใช่........
|
ไม่ค่อยมีเวลา แต่อยากเสนอให้ฟังคร่าวๆครับ ดังนี้
สมมติว่าเรามีสมการกำลังสองอยู่หนึ่งสมการ สมมติว่าเป็น
$x^2+4x+6=0$ ก็แล้วกัน ลองสังเกตดูว่าเราหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้
จริงไหมครับ แต่พอมีใครซักคนคิดระบบของจำนวนเชิงซ้อนออกมา ก็มีคำตอบทันที
ก็เท่ากับว่า คนๆนั้นใช้ตรรกะในการขยายเซตคำตอบเหมือนกัน
คือแทนที่จะหาคำตอบบนเซตของจำนวนจริง ก็ไปหาเป็นเซตของเชิงซ้อนแทน
ทีนี้ไอเดียคือการขยายเซตคำตอบออกไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน
มันยังสรุปไม่ได้ 100% ถึงพฤติกรรมการเกิดรากของเซตคำตอบก่อนขยายครับ
ลองมองแบบนี้ดู สมการ $x^2+4x+6=0$ หารากบน $\mathbb{R}$ จะได้ว่า "ไม่มี"
พอมาทำเป็นหารากบน $\mathbb{C}$ โดยที่ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เหมือนกับว่าจำนวนเชิงซ้อนมีความทั่วไปกว่าจำนวนจริง
(โดยการเซทให้สัมประสิทธิ์หน้า $i$ เป็นศูนย์) ปรากฏว่ามีรากพอดี
ก็เท่ากับว่ามันมีรากบนขอบเขตที่ขยายออกไป แต่ "ไม่มี" รากบนขอบเขตเดิม
----------------------------------------------------------------------
กลับมาดูที่ความเห็นล่าสุดของคุณข้างบน คือการดู $(x,y) \in \mathbb{R}^2$
แล้วปรากฏว่าไปเจอคำตอบ พอลดขอบเขตมาเป็น $(x,y) \in \mathbb{N}^2$
มันจะสรุปว่าไม่มีหรือมีแบบตัวอย่างที่ผมยกไว้ข้างบนไม่ได้ เพราะตัวอย่างข้างบน
เรารู้ๆกันด้วยความรู้ของจำนวนเชิงซ้อนม.ปลายที่ไม่ได้ซับซ้อนมาก ว่ามีหรือไม่มีคำตอบ
พอกลับมามองที่ FLT กรณี $n=3$ การที่คุณกำลังจะสรุปคำตอบโดยวิธีขยายขอบเขต
ต่อให้เจอคำตอบบนขอบเขตที่ขยายออกไป ก็สรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายไม่ได้ครับ
สมมติว่าถ้ามัน "ไม่มี" คำตอบบนขอบเขตที่ขยาย แล้วสรุปว่า "ไม่มี" คำตอบในขอบเขตก่อนขยาย
อันนี้ "อาจจะ" ได้ครับ เพราะ $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ และ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เซตนึงมีความทั่วไปมากกว่าอีกเซต
กลับมาที่คำถามที่ผมเคยถามว่า ว่าถ้าหากเซทที่ขยายออกไป ดัน "มี" คำตอบมาละ
มันก็ใช่ว่าจะสรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายได้ว่า มีหรือไม่มี 100% ครับ
การสรุปผล เราจะสรุปจากสิ่งที่เพียงพอให้สรุปเท่านั้นครับ และคำตอบที่คุณหาออกมาได้
เป็นแค่คำตอบกรณีเฉพาะที่ $x+y , xy$ เป็นจำนวนเต็มบวกแค่นั้นครับ
คำตอบบนโดเมนขยายขอบออกไป มีได้เป็นอนันต์ไม่ต้องสงสัยครับ
ปล. FLT มีความ sharp และ strong สูงมากครับ พวก capability ต่ำๆไม่มีทางทุบลงครับ