48. ถ้ามองว่าสมการโจทย์เป็น quadratic ในเทอมของ $x$ เราจะต้องได้ discriminant ซึ่งก็คือ $4y^2(y^4-1)$ เป็น perfect square
ถ้า $y=0$ เราจะได้ $x=0$
ถ้า $y\ne0$ เราจะได้ว่า $y^4-1$ ต้องเป็น perfect square
ให้ $z^2=y^4-1$ นั่นคือ $(y^2-z)(y^2+z)=1$ แสดงว่า $y^2-z=y^2+z=\pm1$ ดังนั้น $y^2=1$ นั่นคือ $y=\pm1$ แทนค่าย้อนกลับไป เราจะได้คำตอบในกรณีนี้คือ $(x,y)=(1,1),(-1,-1)$
ดังนั้นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดคือ $(x,y)=(0,0), (1,1), (-1,-1)$ ครับ
|