การหาเศษพหุนามจากการหารด้วยพนุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2
บทความนี้นำเสนอทฤษฎีหาเศษที่เราต่างก็ทราบกันดีอย่างเช่น
.........ถ้าถามว่าพหุนาม $x^{3}+3x^{2}-2x+1$ หารด้วยพหุนาม $x-1$ เหลือเศษเท่าไหร่ เราไม่จำเป็นต้องไปตั้งหารยาว เพียงเราใช้ทฤษฎีเศษเหลือแทนค่า x=1 ลงใน $x^{3}+3x^{2}-2x+1$ จะได้เศษเท่ากับ 3 ทันที
.........ตัวอย่างข้างบนเป็นการหารด้วยพหุนามดีกรี 1 จึงสามารถใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ แต่เราเคยสงสัยกันไหมว่าภ้าเป็นการหารพหุนามด้วยพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ไหม ผมใช้เวลาครุ่นคิดอยู่ประมาณหนึ่งแต่ก่อนหน้านั้นก็พยายามหาคำตอบมาตลอด ซึ่งผมจะใช้วิธีตั้งสมการ ตัวตั้ง=(ผลหาร)(ตัวหาร)+เศษ แล้วเลือกค่า x ที่เหมาะสม แก้สมการหาค่าเศษ หรือถ้ามันยุ่งยากมากนักก็ตั้งหารยาวพหุนามเลยให้มันสิ้นเรื่องสิ้นราว
..........แต่จริงๆแล้วการหารด้วยพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2 ก็สามารถใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ เพียงแต่โรงเรียนไม่ได้สอนไว้ในหลักสูตร เพราะว่ามันต้องประยุกต์เอาและมีความซับซ้อนมากกว่าการหารด้วยพหุนามกำลัง1 ผมจึงอยากสรุปรวบรวมวิธีการหาไว้ให้โดยอิงมาจากทฤษฎีเศษเหลือแล้วนำมาขยายความต่อ โดยเริ่มจากการหารด้วยพหุนามดีกรี2 ก่อน เพื่อเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่สนใจ โดยมีรายละเอียดและตัวอย่างตามภาพที่แนบมา ซึ่งผมคิดว่าโดยวิธีนี้มันน่าจะเร็วกว่าการตั้งหารยาว หรือยังไงใครได้ลองพิสูจน์แล้วก็บอกด้วยละกัน
.........ในรายละเอียดของวิธีการหาเศษ จะแบ่งเป็น 2 วิธี คือการใช้สูตรซึ่งเหมาะกับพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบเป็นค่าจริงไม่ได้ ส่วนอีกวิธีคือการหารสังเคราะห์เหมาะกับพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบเป็นค่าจริงได้ และด้วยวิธีการหารสังเคราะห์นี้มีข้อดีคือเรายังได้พหุนามผลหารออกมาด้วยครับ
.........และสำหรับการเริ่มศักราชใหม่ พ.ศ.2560 ผมก็อยากจะฝากโจทย์ให้คิดกันเพื่อเพิ่มรอยหยักทางความคิดกันครับ
$Problem1.......... (x^{3}+1)^{2560} หารด้วย x^{2}+x+1 เหลือเศษเท่าไหร่กันครับ $
|