[tngngoapm]

การหาเศษพหุนามด้วยวิธีนี้จะใช้ในกรณีหารากของสมการตัวหารได้เป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือเป็นจำนวนอตรรกยะที่ไม่ลงตัว โดยผมจะขอยกตัวอย่างขึ้นมาก่อนเพื่อให้ผู้อ่านได้เห็นภาพและหลักการที่ใช้ก่อนแล้วจะค่อยรวบรวมขึ้นเป็นระเบียบวิธีให้ในภายหลังนะครับ
.......ยกตัวอย่างเช่น $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษเท่าไหร่
วิธีผลรวมกำลังของรากสมการพหุนามมีขั้นตอนดังนี้

$++++++1)$ จับพหุนามตัวหารเท่ากับศูนย์ $x^2-2x+3=0$
จะด้าย.....$z_1+z_2=2$ และ $z_1z_2=3$ เมื่อ $z_1,z_2$ คือรากของสมการ
กำหนด.......$L_n=z_1^n+z_2^n$ หมายถึง $L_1=z_1+z_2,L_2=z_1^2+z_2^2,L_3=z_1^3+z_2^3,...$ ไปเรื่อยๆ

$++++++2)$ หาค่า $L_1,L_2,L_3,....,L_n=?$
เริ่มที่ $L_1=2$....และหา$L_2=-2$ ได้ไม่ยาก
ต่อไปหา $L_3=?$
จาก $x^2-2x+3=0$
.......$x^2=2x-3$
.......$x^3=2x^2-3x$
.......$z_1^3=2z_1^2-3z_1.................(1)$
.......$z_2^3=2z_2^2-3z_2.................(2)$
(1)+(2)...$z_1^3+z_2^3=2(z_1^2+z_2^2)-3(z_1+z_2)$
...........$z_1^3+z_2^3=2(-2)-3(2)$
...........$z_1^3+z_2^3=-10$
...........$L_3=-10$
$L_4,L_5,...L_n$ ก็ทำแบบเดียวกันสรุปได้ความสัมพัน์ $L_n=2L_{n-1}-3L_{n-2}$ ก็จะหา $L_n$ ค่าต่างๆได้

$+++++++3)$ สรุปค่า $L_1,L_2,...,L_{21}$
$L_1=2,L_2=-2,L_3=-10,L_4=-14,L_5=2,L_6=46,L_7=86,L_8=34,L_9=-190,L_{10}=-482,$
$L_{11}=-394,L_{12}=658,L_{13}=2498,L_{14}=3022,L_{15}=-1450,L_{16}=-11966,$
$L_{17}=-19582,L_{18}=-3266,L_{19}=52214,L_{20}=114226,L_{21}=71810$

$+++++++4)$ สมมติให้ $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $ax+b$
......$z_1^{20}+2z_1^{11}-z_1^5=az_1+b.................(3)$
......$z_2^{20}+2z_2^{11}-z_2^5=az_2+b.................(4)$
(3)+(4).....$(z_1^{20}+z_2^{20})+2(z_1^{11}+z_2^{11})-(z_1^5+z_2^5)=a(z_1+z_2)+2b$
..........$L_{20}+2L_{11}-L_5=aL_1+2b$
..........$113436=2a+2b$
..........$56718=a+b................(5)$
(3)$\times z_1$............$z_1^{21}+2z_1^{12}-z_1^6=az_1^2+bz_1.................(6)$
(4)$\times z_2$............$z_2^{21}+2z_2^{12}-z_2^6=az_2^2+bz_2.................(7)$
(6)+(7)............$L_{21}+2L_{12}-L_6=aL_2+bL_1$
......................$73080=-2a+2b$
......................$36540=-a+b..........................(8)$
แก้สมการ (5)และ(8) ได้ $a=10089,b=46629$

........สรุปว่า $x^{20}+2x^{11}-x^5$ หารด้วย $x^2-2x+3$ เหลือเศษ $10089x+46629$