ข้อนี้ ไอเดียมันอยู่ที่การเปลี่ยนจำนวนจริง 13 ตัว ให้เป็นฟังก์ชัน $tan$ ครับ โดยสังเกตจากรูป $\frac{x-y}{1+xy}$ นะครับ มันจะมีลักษณะคล้ายกับสูตรผลลบของฟังก์ชัน $tan$ และอีกอย่างหนึ่งคือ $2-\sqrt{3} = tan(\frac{\pi}{12})$ ซึ่งผมจะใช้เรื่องหลักรังนกพิราบในการพิสูจน์ครับ
สมมติให้ จำนวนจริงทั้ง 13 ตัว คือ $a_1, a_2, a_3,..., a_{13}$ และเราจะแทนที่โดยให้ $a_i = tan$ $b_i$ $\forall i \in$ {${1,2,3,...,13}$} และ $b_i \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
ให้นก แทน $b_1, b_2, b_3,..., b_{13}$
และรัง แทน $(-\frac{\pi}{2},-\frac{11\pi}{12}],(-\frac{11\pi}{12},-\frac{5\pi}{6}],...,(\frac{11\pi}{12},\frac{\pi}{2})$ ซึ่งมีทั้งหมด 12 รัง
โดยหลักรังนกพิราบอย่างง่าย จะได้ว่ามีนกอย่างน้อย 2 ตัว ที่อยู่ในรังเดียวกัน สมมติเป็น $b_i, b_j$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $b_i>b_j$
เนื่องจาก $b_i, b_j$ อยู่ในรังเดียวกัน ทำให้ได้ว่า $0 < (b_i-b_j) \le \frac{\pi}{12}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<tan(b_i-b_j)\le tan(\frac{\pi}{12})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<\frac{{tan\ b_i}-{tan\ b_j}}{1 + (tan\ b_i)(tan\ b_j)}\le tan(\frac{\pi}{12})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<\ \ \ \frac{a_i-a_j}{1 + a_ia_j}\ \ \le 2-\sqrt{3}$
ดังนั้น จะมี $x,y \in A$ ซึ่งทำให้ $0 < \frac{x-y}{1+xy}\le2-\sqrt{3}$
|