[Pitchayut]

โดยรวม เรขายากขึ้น, NT เท่าเดิม, Algebra ยากขึ้นครับ ข้างล่างนี้เป็นวิธีทำโดยย่อครับ

Geometry 1 (Trigonometry)

จาก Law of Sine
$$\frac{AR}{RC}=\frac{\dfrac{AR}{DR}}{\dfrac{RC}{DR}}=\frac{\dfrac{\cos(\angle RDC)}{\sin A}}{\dfrac{\sin(\angle RDC)}{\cos A}}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\tan A}$$
ในทำนองเดียวกัน $\dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{\tan B}{\cot(\angle QDC)}$ แต่จาก Ceva $\dfrac{AR}{RC}\cdot \dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{AD}{BD}$ คูณสองสมการแรก จะได้
$$\frac{AD}{BD}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\cot(\angle QDC)}\frac{\tan B}{\tan A}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\cot(\angle QDC)}\frac{\dfrac{DC}{BD}}{\dfrac{DC}{AD}}$$
ซึ่งให้การเท่ากันที่ต้องการ

Geometry 1 (Projective)

ให้ $S=CD\cap QR, T=QR\cap AB$ จาก $CD,BR,AQ$ concurrent จะได้ $(S,T:Q,R)=-1$ แต่ $\angle SDT=90^{\circ}$ ซึ่งให้การแบ่งครึ่งมุมที่ต้องการ

Geometry 2.1 (Complex)

ใช้จำนวนเชิงซ้อน ให้ $a,b,c,p,m,q$ แทนจำนวนเชิงซ้อนที่สมนัยกับ $A,B,C,P,M,Q$ ตามลำดับ

จากรูป สังเกตว่า $A$ เกิดจากการหมุน $B$ รอบ $P$ ไป $90^{\circ}$ จะได้
$$(a-p)=i(b-p)\implies p=\frac{a-bi}{1-i}$$
ทำนองเดียวกัน จะได้ $q=\dfrac{b-ci}{1-i}$ และ $m=\dfrac{a+c}{2}$

ดังนั้น
$$\frac{p-m}{q-m}=\frac{2(a-bi)+(-1+i)(a+c)}{2(b-ci)+(-1+i)(a+c)}=\dfrac{a-2bi+(-1+i)c}{ai+2b+(-1-i)c}=-i$$
ซึ่งหมายความว่า $PM=QM$ และ $PM\perp QM$ ตามต้องการ

Geometry 2.2 (Complex)

ใช้จำนวนเชิงซ้อน ให้ $a,b,c,p,q,r,s$ แทนจำนวนเชิงซ้อนที่สมนัยกับ $A,B,C,P,Q,R,S$ ตามลำดับ

ทำนองเดียวกับ 2.1 จะได้ $p=\dfrac{a-bi}{1-i},q=\dfrac{b-ci}{1-i},r=\dfrac{c-di}{1-i},s=\dfrac{d-ai}{1-i}$

ดังนั้น $$\dfrac{p-r}{q-s}=\dfrac{a-bi-c+di}{ai+b-ci-d}=-i$$

ซึ่งหมายความว่า $PR=QS$ และ $PR\perp QS$ ตามต้องการ

Geometry 3.1

ให้สามเหลี่ยม orthic เป็น $\Delta DEF$ เมื่อ $AD,BE,CF$ เป็นส่วนสูง

สะท้อน $D$ ข้าม $AB,AC$ เป็น $D_1,D_2$ โดยการไล่มุมจะได้ $D_1,E,F,D_2$ colinear นั่นคือเส้นรอบรูปที่โจทย์บอกคือ $D_1D_2$

แต่ $AD_1=AD_2=AD$ เพราะฉะนั้นโดย triangle inequality จะได้ $D_1D_2<AD_1+AD_2=2AD$ ตามต้องการ

Geometry 3.2

ให้ $\Delta=[ABC],a=BC,b=CA,c=AB$

ทำนองเดียวกับข้อ 3.1 ไล่มุมเพิ่มเติม จะได้ $\angle D_1AD_2=2A$ ดังนั้น จะได้ว่า $D_1D_2=2AD\sin A=4\dfrac{\Delta\sin A}{a}=\dfrac{2\Delta}{R}$

ดังนั้น $\dfrac{D_1D_2}{a+b+c}=\dfrac{2\Delta}{R(a+b+c)}=\dfrac{r}{R}$ ตามต้องการ

Geometry 4

Second Lemoine Circle ไล่มุมครับ (ผมก็จำรายละเอียดไม่ได้แล้วเหมือนกันครับ)

Number Theory 1

กวน? ตอบ $p-1$ ใช้ Fermat, Wilson

Number Theory 2

หา $x,y,z$ ในรูป $m$ จะได้ $9x=10^{2m}-1,9y=10\cdot 10^m-1,9z=6\cdot 10^m-6$

เลือก $n=2\cdot 10^m+33$ จะได้ $$9(x+y+z+n)=10^{2m}-1+10\cdot 10^m-1+6\cdot 10^m-6+18\cdot 10^m+297=10^{2m}+34\cdot 10^m+289=(10^m+17)^2$$ ตามต้องการ

Number Theory 3

ขาไปชัดเจน ส่วนขากลับ ให้ $n$ เป็นจำนวนประกอบ ดู $\sigma(n)$ bound ตัวหารที่ไม่ใช่ 1 เป็น $n$ ให้หมด นั่นคือ $\sigma(n)<1+(n-1)\tau(n)$

แต่ $\phi(n)<n-1$ ดังนั้น $\phi(n)+\sigma(n)<n\tau(n)$ ตามต้องการ

Number Theory 4

เลือก prime $2nk$ ตัว $p_{i,j}$ เมื่อ $i\in\{1,2,...,2n\},j\in\{1,2,...,k\}$ ที่ไม่ซ้ำกัน

โดย CRT มีจำนวนนับ $M$ ที่ทำให้
$$M+i\equiv 0\pmod{p_{i,1}p_{i,2}...p_{i,k}}$$
สำหรับทุกๆ $i\in\{1,2,...,2n\}$ ดังนั้น $M+1,M+2,...,M+2n$ สอดคล้องกับโจทย์

Number Theory 5

Well known มาก ตอบ $p\equiv 1,2\pmod 4$ $p=2$ แยกออกไป พิจารณาเฉพาะ $2\nmid p$

ให้ $x$ เป็นคำตอบ จะได้
$$1\equiv x^{p-1}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\pmod p$$
ซึ่งให้ว่า $p\equiv 1\pmod 4$ ส่วนอีกขานึง พิจารณา
$$-1\equiv (p-1)!\equiv (1)(2)...\left(\frac{p-1}{2}\right)(-1)(-2)...\left(-\frac{p-1}{2}\right)\equiv (-1)^{p-1}{2}\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\equiv \left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\pmod p$$
ซึ่งให้ผลตามต้องการ