Nesbitt จัดรูปธรรมดามี 2 แบบครับ
แบบแรก ให้ $2x=b+c,2y=c+a,2z=a+b$ จะได้ว่า $a=y+z-x, b=z+x-y, c=x+y-z$ นั่นคืออสมการ Nesbitt กลายเป็น$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge 6$$ ซึ่งสมมูลกับ $$\left(\sqrt{\dfrac{x}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{x}{z}}-\sqrt{\dfrac{z}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{z}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{z}}\right)^2\ge 0$$
แบบที่สอง เอา $(a+b)(b+c)(c+a)$ คูณทั้งสองข้างแล้วกระจาย (ทำเอง) อสมการกลายเป็น
$$2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a$$ ซึ่งสมมูลกับ $$(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2\ge 0$$
|