[NaPrai]

วิธีที่ 1

อันนี้เป็นวิธีที่ผมชอบมากที่สุด หลัก ๆ คือใช้การจัดรูปโดยใช้เอกลักษณ์ทางพีชคณิต ดังนี้ครับ

\begin{align*}\sum\frac{4a^2}{(a+b)^2} &= 3 +\sum\left[\frac{2(a^2+b^2)}{(a+b)^2}-1\right]+\sum\frac{2(a^2-b^2)}{(a+b)^2}\\
&= 3+\sum\left|\frac{a-b}{a+b}\right|^2+2\sum\frac{a-b}{a+b}\\
&= 3+\sum\left|\frac{a-b}{a+b}\right|^2-2\prod\frac{a-b}{a+b} \\
&\ge 3+3\prod\left|\frac{a-b}{a+b}\right|^\frac{2}{3}-2\prod\left|\frac{a-b}{a+b}\right|\ \ (AM-GM และ -x \ge -|x|)
\\&\ge 3\end{align*}

หมายเหตุ: $\sum, \prod$ เป็นแบบ cyclic นะครับ