วิธีที่ 3.5
คล้าย ๆ กับวิธีที่ 3 ครับ เลยแถมให้เป็น 3.5
จาก
Lemma (China TST 2005 Quiz 2 #3)
ให้ $p, q, r, s\in \mathbb{R^+}$ ที่ $pqrs = 1$ จงพิสูจน์ว่า
$\frac{1}{(1+p)^2}+\frac{1}{(1+q)^2}+\frac{1}{(1+r)^2}+\frac{1}{(1+s)^2}\ge 1$
Proof วิธีในการพิสูจน์สามารถใช้ผลจาก Lemma ในวิธีที่ 3 ในการพิสูจน์ได้ครับ
จากนั้น เราจะแทน $p=\frac{b}{a}, q=\frac{c}{b}, r=\frac{a}{c}, s=1$ ซึ่งเราได้ว่า $pqrs =1$ ทำให้
$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^2}+\frac{1}{(1+1)^2}\ge 1$
จะได้
$\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2}{(c+a)^2}\ge\frac{3}{4}$