เห็นมาหลายวันแล้วข้อนี้ขอหน่อย
อีกวิธีที่ไม่พึ่ง Harmonic นะครับ ใช้ Symmedian + Polar
จากโจทย์ต่อเส้นสัมผัสที่ B,C ให้ตัดกันที่ P พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า AP เป็น Symmedian
เพราะว่า M เป็น midpoint จะได้ว่า BMP เท่ากันทุกประการกับ PMC
และผลจากการที่ M เป็น midpoint ที่ลากผ่าน O ถ้าแบ่งครึ่งต้องตั้งฉาก
ดังนั้นจะได้ OP ตั้งฉาก BC จากนิยามของ pole and polar
จะได้ว่า BC เป็น polar ของ P เทียบกับ $\omega$ (w.r.t. $\omega$) ให้ AP ตัดกับ $\omega$ ที่ A'' และต่อ P,A' ชน $\omega$ ที่ A'''
เพราะว่า polar ของ P (คือ BC) ผ่าน Y ดังนั้น polar ของ Y ต้องผ่าน P ด้วยซึ่งก็คือ A'A''' (จาก La hire's)
ก็จะได้ YA''' สัมผัส $\omega$ และ P,A',A''' กับ P,A'',A ทั้งคู่ collinear เหมือนกัน
จากผลของ Symmedian จะได้ว่า BAP = MAC ดังนั้นส่วนโค้ง BA?? กับ CA? ยาวเท่ากัน
จะได้ว่า A?? ห่างจากเส้นตรง OP เป็นระยะทางเท่ากับ A? นั่นคือ A??,A? เป็นภาพสะท้อนโดยมี OP เป็นแกนสมมาตร
และจากที่พิสูจน์ไปแล้วเรื่อง collinear ต้องได้ว่า AP กับ A???P เป็นภาพสะท้อนโดยมี OP เป็นแกนสมมาตรด้วย
ให้ XA ตัดส่วนต่อของ OP ที่ S และ ให้ YA??? ตัดส่วนต่อของ OP ที่ T ให้ AA??? ตัด OP ที่ U
จากการที่ AUP เท่ากันทุกประการกับ A???UP ดังนั้น AA??? ตั้งฉาก OP ต้องได้ว่าส่วนต่อเส้นสัมผัสของ XA และ YA???
ต้องตัดกันจุดเดียวเป็น pole และมี AA??? เป็น polar ด้วย ดังนั้น S กับ T เป็นจุดเดียวกัน
สุดท้าย SA กับ SA??? เป็นภาพสะท้อนข้าม OP ต้องได้ว่า SX และ SY เป็นภาพสะท้อนข้าม OP ด้วย ดังนั้น MX=MY
ปล.ชอบข้อนี้มากๆเลยครับ คงมีอีกหลายๆ solution ซ่อนอยู่
