[Pitchayut]

ผมปรับ wording ในบางข้อนะครับ

Day 1

1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า $\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

2. ให้ $O$ เป็น circumcenter ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ ให้ $AC$ ตัด $BD$ ที่ $G$ ให้ $P,Q,R,S$ เป็น cirumcenter ของ $\Delta AGB,\Delta BGC, \Delta CGD, \Delta DGA$ ตามลำดับ ให้ $PR$ ตัด $QS$ ที่ $M$ จงแสดงว่า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $OG$

3. จงหา $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $$f(f(x)-y)\le xf(x)+f(y)$$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

4. นักเรียนจาก $14$ โรงเรียน โรงเรียนละ $14$ คน เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์ ซึ่งจะจัดให้นักเรียนเข้าสอบใน $14$ ห้อง ห้องละ $14$ คน โดยที่ไม่มีนักเรียนสองคนใดๆ จากห้องเรียนเดียวกันได้สอบห้องเดียวกัน

จากการสำรวจ พบว่ามีนักเรียน $15$ คนที่เคยเข้าร่วมการแข่งขันนี้มาแล้ว เจ้าภาพจึงเลือกนักเรียน $2$ คน จาก $15$ คนนี้ ไปกล่าวคำปฏิญาณ โดยที่ทั้ง $2$ คนจะต้องไม่อยู่โรงเรียนเดียวกัน และไม่สอบห้องเดียวกัน ให้ $n$ เป็นจำนวนวิธีดังกล่าว จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $n$

5. มีจำนวนเต็มบวกเรียงติดกัน $2017$ จำนวน ที่ทุกจำนวนไม่สามารถเขียนในรูป $a^2+b^2$ สำหรับบาง $a,b\in\mathbb{Z}$ หรือไม่ พร้อมแสดงเหตุผลประกอบ

Day 2

6. $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่งมี $AD$ เป็นส่วนสูง $CD=AD$ ถ้า median $CM$ ตัด $AD$ ที่ $N$ จงพิสูจน์ว่า $\Delta ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ $CN=2AM$

7. จงแสดงว่าไม่มี $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ ที่ทำให้ $$2560m^2+5m+6=n^5$$

8. จงหาค่าต่ำสุดของ $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

9. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$ สำหรับทุกๆ $x,y\in\mathbb{Q}^+$

10. ในระบบพิกัดฉาก นิยามจุด lattice เป็นจุดที่มีพิกัด $x$ และพิกัด $y$ เป็นจำนวนเต็ม จงแสดงว่าสำหรับทุกๆ $n\in\mathbb{N}$ จะมีวงกลมที่มีจุด lattice $n$ จุดพอดีอยู่ภายใน (ไม่นับจุดบนเส้นรอบวง)