[Pitchayut]

ผมว่ายากขึ้น แต่ข้อยากยังยากไม่เท่า TMO 12

Problem 1

ให้ $r=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$

จะได้ $r^3=p+p^5+3\cdot\sqrt[3]{p}\sqrt[3]{p^5}(\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5})=p+p^5+p^2r$

ให้ $P(x)=x^3-p^2x+(p^5+p)$ จะได้ $r$ เป็นรากของพหุนามนี้

แต่จาก Eisenstein's Criterion (กับจำนวนเฉพาะ $p$) จะได้ว่า $P(x)$ ลดทอนไม่ได้ซึ่งให้ว่า $r$ เป็นจำนวนอตรรกยะตามต้องการ

Problem 2

เป็นการเพียงพอที่จะแสดงว่า $QS$ แบ่งครึ่ง $OG$

ให้ Homothety อัตราส่วน $2$ ที่จุดศูนย์กลาง $G$ ส่ง $Q$ ไป $Q'$ และส่ง $S$ ไป $S'$

จะได้ $\angle Q'BD=\angle Q'AC=\angle S'CA=\angle S'DB=90^{\circ}$ และเราต้องพิสูจน์ว่า $O,Q',S'$ colinear

ให้ $\Psi(X)$ เป็นภาพสะท้อนของ $X$ ข้าม $O$

ให้ $AA',BB',CC',DD'$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ $ABCD$

ดังนั้น $\Psi(Q')=\Psi(BD')\cap\Psi(CA')=B'D\cap C'A=S'$ ซึ่งให้ว่า $O$ เป็นจุดกึ่งกลาง $Q'S'$ ตามต้องการ

Problem 3

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(f(x)-y)\le xf(x)+f(y)$

$P(x,f(x))+P(x,0)\implies xf(x)\ge 0$

$P(0,x)\implies f(f(0)-x)\le f(x)$

ให้ $K=\min\{f(0),0\}$ เลือก $r<K$ จะได้ $f(f(0)-r)\ge 0$ และ $f(r)\le 0$

ดังนั้น $f(r)=0$ สำหรับทุกๆ $r<K$

$P(r,y)\implies f(-y)\le f(y)$ แต่ $P(r,-y)\implies f(y)\le f(-y)$ ดังนั้น $f(y)=f(-y)$

ให้ $s\in\mathbb{R}^+$ จะได้ว่า $f(-s)\le 0$ และ $f(s)\ge 0$

แต่ $f(s)=f(-s)$ ดังนั้น $f(s)=0$ และ $f(-s)=0$

ซึ่งทำให้ $f(x)=0$ สำหรับทุก $x\in\mathbb{R}$ ตามต้องการ

Problem 4 - ยังคิดไม่ออกครับ

Problem 5

Lemma (Well known) ให้ $p\equiv 3\pmod 4$ และ $p\mid a^2+b^2$ จะได้ $p\mid a$ และ $p\mid b$

จะแสดงว่าสิ่งที่โจทย์ต้องการมีจริง ให้ $p_1,p_2,..,p_{2017}\equiv 3\pmod 4$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน

ให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $$N+i\equiv p_i\pmod{{p_i}^2} \textrm{ สำหรับ } i=1,2,...,2017$$ สมมติ $N+i=a^2+b^2$

จะได้ $p_i\mid a^2+b^2$ แต่โดย Lemma จะได้ $p_i\mid a, p_i\mid b$

ซึ่งทำให้ ${p_i}^2\mid a^2+b^2=N+i$ เกิดข้อขัดแย้งกับ $N+i\equiv p_i\pmod{{p_i}^2}$

ดังนั้น $N+1,N+2,..,N+2017$ เป็นจำนวนที่โจทย์ต้องการ