ชอบข้อ 1 ครับ มาเสนอวิธีข้อ 1 อีกสองวิธีครับ
ให้ $x=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$ ถ้า $x\in\mathbb{Q}$ แล้ว
$$\frac{x+p^3}{1+px} =\frac{\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}+p^3}{1+\sqrt[3]{p^4}+\sqrt[3]{p^8}} =\sqrt[3]{p}\in\mathbb{Q}$$
ซึ่งชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้
ให้ $r=\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{p^5}$ ถ้า $r\in\mathbb{Q}$ แล้วแสดงได้ไม่ยากว่า $q=\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p^{10}},r'=\sqrt[3]{p^4}+\sqrt[3]{p^{20}}$ เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น
$$\frac{p^5r-r'}{p^5-p}=\frac{(p^5-p)\sqrt[3]{p}}{p^5-p}=\sqrt[3]{p}\in\mathbb{Q}$$
ซึ่งชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้