[NaPrai]

วิธีที่ 4

คือการ proof อสมการที่ strong กว่า

โดยจาก $\frac{a^2}{(a+b)^2}=\frac{3}{4}(\frac{4a^2}{3(a+b)^2})=\frac{3}{4}(\frac{4a^2}{3a^2+6ab+3b^2})\ge \frac{3}{4}(\frac{4a^2}{4a^2+8ab+4b^2})=\frac{3}{4}(\frac{a^2}{a^2+ab+b^2})$

ดังนั้น ที่เหลือจึงต้องพิสูจน์ว่า $\sum\frac{a^2}{a^2+ab+b^2} \ge 1 $
$\Leftrightarrow \sum [a^2 + (a+b+c)\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}]\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow \sum\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

ซึ่งเป็นจริงโดย Cauchy-Schwartz ดังนี้

$(\sum\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2})(\sum c(a^2+ab+b^2))\ge (ab+bc+ca)^2 \Rightarrow \sum\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}((a+b+c)(ab+bc+ca))\ge(ab+bc+ca)^2$

ก็จะได้ $\sum\frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$ ตามต้องการ