การประยุกต์ทฤษฎีเหลือเศษพหุนามในทฤษฎีจำนวน
............ตัวอย่างเช่น ถ้าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)$ แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย $(x+4)$ แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย $(x+5)$ แล้วเหลือเศษ 4
ถามว่าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)(x+4)(x+5)$ แล้วเหลือเศษเท่าใด
...........วิธีทำ เมื่อหาด้วยวิธีเศษเหลือพหุนามจะได้ว่าพหุนาม $P(x)$ หารด้วย $(x+3)(x+4)(x+5)$ แล้วเหลือเศษเท่ากับพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$
...........หรือเขียนพหุนาม $P(x)$ ในรูปสมการได้ว่า $P(x)=Q(x)[(x+3)(x+4)(x+5)]+R(x)$....................(a) เมื่อ $Q(x)= พหุนามผลหาร$
สมการพหุนาม $P(x)$ ในสมการ (a) สามารถแปลงเป็นโจทย์ทฤษฎีจำนวนได้หลายชุดดังนี้เช่น
$1.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 , หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 0 จะได้ $R(0)=34$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 34 ด้วย (ครน.ของ 3,4,5) =34
เพราะฉะนั้น 34 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 , หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 4
$2.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 4 แล้วลงตัว , หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 1 จะได้ $R(1)=52$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 52 ด้วย (ครน.ของ 4,5,6) =52
เพราะฉะนั้น 52 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 4 แล้วลงตัว , หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 4
........................................................
$3.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 10 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 7 จะได้$ R(7)=244$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 244 ด้วย (ครน.ของ 10,11,12) =244
เพราะฉะนั้น 244 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 10 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษ 4
$4.$ ถามว่าจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 22 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 23 แล้วเหลือเศษ 4 มีค่าเท่าไหร่
หาได้โดยนำพหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ มาแทนค่าด้วย 18 จะได้ $R(18)=970$ .......หาเศษที่ได้จากการหาร 970 ด้วย (ครน.ของ 21,22,23) =970
เพราะฉะนั้น 970 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 21 แล้วเหลือเศษ 4 , หารด้วย 22 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 23 แล้วเหลือเศษ 4
........ซึ่งแค่พหุนาม $R(x)=2x^2+16x+34$ สามารถแปลงเป็นโจทย์ทางทฤษฎีจำนวนได้มากมายเหลือเกิน........
__________________
ประสบการณ์จะให้ประโยชน์อย่างเงียบๆ เมื่อเราสำนึกถึงข้อมูลในอดีต
|