27.
วิธีที่ 1 (ไม่ใช้ Calculus)
จากสมการเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด $(0,0)$ ดังนั้น สมการเส้นตรง คือ $y=mx$ และกราฟสมการพาราโบลา $y=x^2+2$ จากกราฟสมการสองสมการสัมผัสกัน ซึ่งสามารถตีความได้ว่า ระบบสมการสองสมการนี้มีคำตอบเดียวนั่นเอง ซึ่งก็คือ $x^2-mx+2=0$ มีคำตอบเดียว พิจารณาจากดิสคริมิแนนท์จะต้องเท่ากับ 0 ได้ว่า $m=\pm2\sqrt{2}$ แต่ว่าโจทย์กล่าวว่า กราฟสัมผัสกันที่จตุภาคที่ 1 ดังนั้นตรวจสอบได้ไม่ยากว่า $m=2\sqrt{2}$
วิธีที่ 2 (ใช้ Calculus)
ให้สมการเส้นตรงสัมผัสที่ $x=a$ จะได้ว่าจุดสัมผัส คือ $(a, a^2+2)$ เพื่อความสะดวกให้ $f(x)=x^2+2$
ดังนั้น ความชันของเส้นตรงที่สัมผัส คือ $f'(a)=2a$
จากสมการเส้นตรงนี้ผ่านจุด $(0,0) และ (a, a^2+2)$ จะได้ความชันก็คือ $\frac{(a^2+2)-0}{(a)-0}=\frac{a^2+2}{a}$
จะได้ว่า $2a=\frac{a^2+2}{a}$ หลังจากแก้สมการจะได้ $a=\pm \sqrt{2}$
ดังนั้น ความชันของกราฟเส้นตรง คือ $2a=\pm 2\sqrt{2}$ แต่ว่าโจทย์กล่าวว่า กราฟสัมผัสกันที่จตุภาคที่ 1 ดังนั้นตรวจสอบได้ไม่ยากว่า ความชันของเส้นตรง คือ $2\sqrt{2}$
หมายเหตุ: คอนเซปต์หลัก ๆ คือ การหาความชันในสองรูปแบบ คือ จากเงื่อนไขการสัมผัส (ดิฟ) และ สมการเส้นตรง ($\frac{\triangle y}{\triangle x}$) และจับสองค่านี้มาเท่ากัน
|