ผมไม่มั่นใจว่าเข้ามาถูกห้องไหม แต่คิดว่าเกี่ยวกับ analysis นิดนึง และเป็นปัญหาระดับมหาลัย ยังไงลองอ่านคำถามผมดูก่อนนะครับ
ผมเข้าใจคอนเซ็ปต์ที่ว่า DE ก็คือสมการเชิงฟังก์ชันรูปแบบหนึ่ง เป็นเหมือนอีกขั้นของสมการพีชคณิต ปรกติแล้วสมการพีชคณิต $2x+1=0$ เราต้องหาว่า "ตัวเลข" อะไรที่ทำให้สมการเป็นจริง ในที่นี้ก็คือ $x=-1/2$ แต่สมการเชิงอนุพันธ์เราต้องการหาว่า "ฟังก์ชัน" อะไรที่ทำให้สมการเป็นเอกลักษณ์ (เป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$) เช่น $y'(x)=y(x)$ ซึ่งเมื่อเราแทนฟังก์ชัน $y(x)=\exp(x)$ ไป ก็จะได้ว่าสมการเป็นเอกลักษณ์ คือเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$ ดังนั้น $y(x)=\exp(x)$ เป็นหนึ่งคำตอบของสมการนี้
อีกเรื่องหนึ่งก็คือการเทียบสัมประสิทธิ์ โดยปรกติแล้ว ถ้าสมการ $ax+b=2x+1$ เป็นเอกลักษณ์ นั่นคือสมการนี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ เราสามารถเทียบสัมประสิทธิ์ และได้ว่า $a=2$ และ $b=1$ ซึ่งอันนี้จริงๆมันเป็นผลจาก fundamental theorem of algebra ที่บอกว่าสมการ $(a-2)x+(b-1)=0$ ต้องมีคำตอบเป็นจำนวนจริง(เชิงซ้อน)อย่างมาก $1$ ราก แต่ถ้าเราบังคับให้สมการเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$ ก็จะเกิดข้อขัดแย้ง แสดงว่าสัมประสิทธ์แรกสุดต้องเป็น $0$ เลยได้ว่า $a=2$ ทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $b=1$
โดยทั่วไปแล้ว การเทียบสัมประสิทธ์ระหว่างสองพหุนาม ดีกรี $n$ สามารถทำได้ถ้าเราบอกว่าสมการเป็นจริงอย่างน้อยสำหรับ $n+1$ ค่าของ $x$ ไม่จำเป็นจะต้องเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง ขอแค่ $n+1$ ตัวที่แตกต่างกันก็พอ ในตัวอย่างก่อนหน้าถ้าเราบอกว่าสมการเป็นจริงสำหรับ $x=1$ (มีข้อมูลเพียงเท่านี้) เราจะได้ว่า $a=3$ และ $b=0$ เป็นอีกคำตอบหนึ่ง ดังนั้นการเทียบสัมประสิทธิ์จะไม่เวิร์คถ้าหากว่าสมการเป็นจริงสำหรับค่า $x$ ด้วยจำนวนที่ไม่เพียงพอ
สรุปว่าการเทียบสัมประสิทธิ์สามารถทำได้ถ้าหากว่า จำนวนข้อมูล "มากกว่า" ดีกรีของพหุนาม จำนวนข้อมูลในที่นี้ก็คือจำนวนของค่าของ $x$ ที่สอดคล้อง
ปัญหามันอยู่ที่ว่า เวลาผมแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีกระจายเป็น power series แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ ผมมองว่า power series เป็นพหุนามที่มีดีกรี aleph null $|\mathbb{N}|$ และเนื่องจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้น คำตอบต้องทำให้สมการเป็นจริงทุกจำนวน $x$ ก็เหมือนว่าผมมีข้อมูลอยู่ $|\mathbb{R}|$ ตัว ดังนั้น จากที่เรารู้ว่า $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$ ในเชิงของคาร์ดินัลิตี้ แปลว่าเราสามารถสรุปได้ว่าการเทียบสัมประสิทธ์เวิร์ค ถ้าผมให้เหตุผลแบบนี้มันเมคเซนส์ไหมครับ
เวลาผมหาในกูเกลิทีไร เค้าทึกทักเอาเองเลยว่าถ้า power series จับย้ายข้างให้ข้างหนึ่งเป็นศูนย์แล้ว สัมประสิทธิ์ของอีกฝั่งต้องเป็นศูนย์หมดเลย ซึ่งมันก็ดูเหมือนจะไปโยงกับที่ผมอธิบายไว้ข้างบน เพราะถ้าผมบอกว่า power series เป็นจริงสำหรับแค่ทุกจำนวนนับ (ไม่ใช่ทุกจำนวนจริง) ผมสามารถสร้าง power series ที่สัมประสิทธิ์ไม่ใช่ศูนย์หมด แต่เท่ากับศูนย์เมื่อแทน x เป็นจำนวนนับใดๆได้ เช่น power series ของ $\sin( \pi x )$
ดังนั้น ผมเลยคิดว่าการที่จำนวนข้อมูลมากกว่าดีกรีเป็นสิ่งจำเป็นในการเทียบสัมประสิทธิ์ เพราะผมมีตัวอย่าง(ข้างต้น)ที่บอกว่าพหุนามดีกรี $|\mathbb{N}|$ กับข้อมูล $|\mathbb{N}|$ ตัว ไม่สามารถใช้การเทียบสัมประสิทธิ์ได้ ผมเลยคิดว่าเหตุผลที่ทำให้เราเทียบสัมประสิทธิ์ตอนแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ power series น่าจะมาจากการที่ $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$ น่ะครับ
ทุกท่านมีความคิดเห็นอย่างไร หรือผมเข้าใจอะไรผิดตรงไหน แนะนำผมได้นะครับ แอบสารภาพว่าเคยส่งเมลไปถามอาจารย์แล้วแต่ผมหาเมลนั้นไม่เจอ (คาดว่าหายไปตอนเรียนจบแล้วเข้าเมลมหาลัยไม่ได้) และจำได้ลางๆว่าอาจารย์บอกว่ามันไม่น่าเกี่ยวกัน ไม่งั้นก็เป็นปัญหาเปิด ซึ่งเมื่อเรียน set theory แล้วรู้ซึ้งเลยครับ
