$$ \int cos^2(x)dx$$
ผมมีปัญหากับเจ้านี่นิดหน่อยครับ คือว่าผมลองแบบนี้ฮะ เริ่มด้วย $e^{ix} = cosx + isinx$
$$\begin{array}{cl}
& \int [Re(e^{ix})]^2dx \\
= & Re(\int e^{i2x})dx \quad(??)\\
= & Re(\frac{e^{i2x}}{2i} \cdot \frac{i}{i})\\
= & Re(-\frac{i}{2} \cdot (e^{i2x}))\\
= & Re(-\frac{i}{2} \cdot (cos(2x) + isin(2x)))\\
= & Re(\frac{sin(2x)}{2} - \frac{icos(2x)}{2})\\
= & \frac{sin(2x)}{2}\end{array}$$
บรรทัดที่ผมใส่ (??) ไว้คือบรรทัดที่ผมคิดว่าน่าจะมีปัญหาอะไรซักอย่าง
ซึ่งมันผิดอะครับ อยากรู้ว่า ผมพลาด
สมบัติของอินทิเกรต จำนวนเชิงซ้อน อันไหน ?
ผมลองอินทเกรตโดยใช้ $cos(x) = \frac{\displaystyle{e^{ix}+e^{-ix}}}{\displaystyle{2}}$ (
ลองใช้เจ้า e มาคำนวน ซึ่งถ้าใช้ $cos^2x = \frac{1}{2} \cdot (1+cos(2x))$
จะง่ายและสั้นกว่ามากๆ ;w;) ก็ได้คำตอบปกติคือ $\frac{\displaystyle{x}}{\displaystyle{2}}+ \frac{\displaystyle{sin2x}}{\displaystyle{4}} + C$
ที่ผมสงสัยก็เพราะว่าโจทย์ข้อนี้ครับ
$$\begin{array}{cl}
& \int e^xcosxdx\\
=& Re(\int e^x \cdot e^{ix}dx)\\
=&Re(\int e^{x+ix}dx)\\
=&Re(\int e^{x(1+i)}dx)\\
=&Re(\frac{e^{x(1+i)}}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i})\\
=&Re(\frac{e^x}{2}e^{ix}(1-i))\\
=&\frac{e^x}{2}Re[(cosx+isinx)(1-i)]\\
=&\frac{e^x}{2}Re[cosx- icosx + isinx + sinx]\\
=&\frac{e^x}{2}(cosx + sinx) + C \end{array}$$
ใครรู้ว่าผมพลาดอะไรตรงไหนก็ขอความกรุณาหน่อยนะครับ
