[Napper]

สมมิตว่าเป็นสามเหลี่ยม ABC ดังรูปนะครับ และรัศมีวงกลมเป็น $r$ ลากgส้นจากจุดศูนย์กลางไปจุดยอดทั้งสามองสามเหลี่ยม จะได้ว่ากรณีแรกที่ $\alpha+\beta \le \pi$ นั้น พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $[ABO]+[BCO]-[ACO]$ หรือก็คือ

$$\frac{1}{2}r^2\big(\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)\big)$$

ในขณะที่กรณีสองเมื่อ $\pi \le \alpha+\beta \le 2\pi$ พื้นที่สามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ $[ABO]+[BCO]+[ACO]$ หรือก็คือ

$$\frac{1}{2}r^2 \big(\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)\big)$$

ในที่นี้ $\sin(2\pi-(\alpha+\beta))=-\sin(\alpha+\beta)$ เลยได้พจน์สุดท้ายเป็นแบบนั้นนะครับ แสดงว่าไม่ว่าจะเป็นกรณีไหน พื้นที่สามเหลี่ยมสามารถหาได้จากฟังก์ชันสองตัวแปร

$$f(\alpha,\beta)=\frac{1}{2}r^2\big(\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)\big)$$

ซึ่งเมื่อสร้างสมการ $f_{\alpha}=0$ และ $f_{\beta}=0$ จะได้ว่า

$$\cos\alpha=\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)$$

ซึ่งมีสองคำตอบคือ $(\alpha,\beta)=(0,0),\left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)$ และมีเพียง $\alpha=\beta=\frac{2\pi}{3}$ ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุด ได้พื้นที่เป็น

$$f\left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$$

ตามต้องการ (สามเหลี่ยมนี้ฟอร์มเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า)