มาจากข้อสอบสิรินธร ปี 60 ครับ
1)จงหาผลรวมสมาชิกในเซต {${gcd(a+b,a^2-ab+b) :a,b\in\mathbf{N} และ gcd(a,b)=1}$}
$ถ้าให้ a=x+1 b=x เราจะได้ ว่า$$ gcd(a+b,a^2-ab+b)=2x+1 $$\forall x\in\mathbf{N} $ แสดงว่ามันเป็นเซตอนันต์? ผลรวมก็เป็นอนันต์ด้วย?
2)สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $1\leqslant n\leqslant100$ กำหนดให้ $0^{\circ} <\theta_n<90^{\circ} $ จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $\sum_{n = 1}^{100}(2n+1)(sin(\theta_n)+ncos(\theta_n))$
จาก อสมการcauchy-schwarz จะได้ว่า $(2n+1)(sin(\theta_n)+ncos(\theta_n))\leqslant (2n+1)\sqrt{1+n^2}\sqrt{sin^2\theta_n+cos^2\theta_n}=(2n+1)\sqrt{n^2+1}$ ซึ่งเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $cot\theta_n=n$ ซึ่ง $\forall n,1\leqslant n \leqslant100$ จะมี $\theta_n ซึ่งcot\theta_n=n$เสมอ ดังนั้นค่ามากสุดที่เป็นไปได้ คือ $\sum_{n = 1}^{100} (2n+1)\sqrt{n^2+1}$
คือมันเป็นข้อสอบเติมคำเลยงงๆกับการตอบครับ