อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
สวยงามากๆเลลยครับ พึ่งเคยทราบ
|
พหุนามในรูป $x^n-f_nx-f_{n-1}=0$นอกจากมีรากสมการหนึ่งเป็น$\varphi =\frac{1+\sqrt{5} }{2}$แล้วยังมีรากอีกสมการหนึ่งเป็น$\frac{-1}{\varphi }=\frac{1-\sqrt{5} }{2} $เสมอด้วย หรือพูดให้เลยเถิดไปอีกว่า
พหุนามในรูป $x^n-f_nx-f_{n-1}=0$เมื่อ $n= \left\{2,3,4,5,...\right\} $
และ $fคือลำดับฟิโบนาชีหรือ f= \left\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,....\right\}$
โดย $f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,f_5=5,...,f_n=พจน์ที่nของลำดับฟิโบนาชี$
นั้นมีลักษณะพิเศษอีกอย่างคือ ทุกๆพหุนาม $x^n-f_nx-f_{n-1}$ ไม่ว่าnจะเป็นจำนวนนับใดที่มากกว่าหรือเท่ากับ2
ต่างมีพหุนาม$x^2-x-1$ เป็นตัวประกอบทั้งสิ้น เช่น
เมื่อ $n=3$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^3-2x-1=(x^2-x-1)(x+1)$ ,
เมื่อ $n=4$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^4-3x-2=(x^2-x-1)(x^2+x+2)$ ,
เมื่อ $n=5$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^5-5x-3=(x^2-x-1)(x^3+x^2+2x+3)$ ,
เมื่อ $n=6$จะได้พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$คือ... $x^6-8x-5=(x^2-x-1)(x^4+x^3+2x^2+3x+5)$ ,...หรือ
$x^n-f_nx-f_{n-1}=(x^2-x-1)(f_1x^{n-2}+f_2x^{n-3}+f_3x^{n-4}+...+f_{n-2}x+f_{n-1})$
หรือพูดอีกอย่างได้ว่า พหุนาม$x^n-f_nx-f_{n-1}$หารด้วยพหุนาม$x^2-x-1$ ลงตัวเสมอและได้ผลหารเป็น
พหุนาม$f_1x^{n-2}+f_2x^{n-3}+f_3x^{n-4}+...+f_{n-2}x+f_{n-1}$
ซึ่งจะเห็นว่าพหุนามผลหารมีสัมประสิทธิ์เป็นลำดับฟิโบนาชีเรียงกันไป.....ซึ่งผมขอตั้งชื่อเรียกก่อนว่า"พหุนามฟิโบนาชี" แล้วค่อยมาว่ากันต่อว่าพหุนามฟิโบนาชีทำอะไรได้บ้างนะครับ