[Pitchayut]

Day 1

1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$
ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$
ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ และ $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$.

(ก) จงแสดงว่า $B, C, P, Q$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

(ข) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $f(x+f(y)) = f(x) + y^2$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$.

3. แม่หญิงการะเกดแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกข้อมูลลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,2,4,8,16$ และ $32$ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าเมืองนครราชสีมาเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ

จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือผลบวกความจุดแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด

4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ
$$\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}$$
5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $5^5$ ลงตัว

Day 2

6. ให้ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $2x^2 = 3y^3 + 4z^4$.

(ก) จงแสดงว่าถ้า $(x,y,z)\in A$ แล้ว $x,y,z$ หารด้วย $6$ ลงตัว

(ข) จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์

7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,61\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด
จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$

8. สลาก $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากทุกใบมีค่ามากกว่า $2330$ แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลาก $n$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $1165$
จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$

9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$
ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$
ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ
ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$
จงแสดงว่า $AD=AQ$

10. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงแสดงว่าถ้าฟังก์ชัน $f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ สอดคล้องกับ $af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $y>2018$ แล้วจะมีฟังก์ชัน $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + h(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$