Solution 6-9
(ก) ขั้นแรกจะแสดงว่า $3\mid x,y,z$
สังเกตว่า $3\mid 2x^2-4z^4\implies z^4\equiv 2x^2\pmod 3$ ซึ่งเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $3\mid x, z$
เพราะฉะนั้น $9\mid 2x^2-4z^4=3y^3\implies 3\mid y$ ตามต้องการ
ต่อไป จะแสดงว่า $2\mid x,y,z$ สังเกตว่า $2\mid 2x^2-4z^4 =3y^3\implies 2\mid y$
เพราะฉะนั้น $4\mid 3y^3+4z^4 = 2x^2\implies 2\mid x$
ดังนั้น $8\mid 2x^2+3y^3 = 4z^4\implies 2\mid z$ ตามต้องการ
(ข) สังเกตว่า $(54t^6, 6t^4, 6t^3)\in A$ เพราะฉะนั้น $A$ เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ
ให้สีที่ $i$ ปรากฎในตัวเลข $a_i$ ตัว เพราะฉะนั้น $a_1+a_2+...+a_{25}=61$ เห็นได้ชัดว่า
$$m = (2^{a_1}-1) + (2^{a_2}-1) + ... + (2^{a_{25}}-1)$$
ต่อไปจะใช้เทคนิค smoothing พิสูจน์ว่าค่าต่ำสุดของ $m$ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $(a_1,a_2,...,a_{25})$ มีแค่ $2$ และ $3$ เท่านั้น
สังเกตว่าถ้ามี $a,b\in \{a_1,a_2,...,a_{25}\}$ ที่ $a-b\geqslant 2$ แล้ว เราสามารถเปลี่ยน $(a,b)$ เป็น $(a-1, b+1)$ ซึ่งทำให้ค่า $m$ เปลี่ยนเป็น
$$\begin{align*}
m' &= m + (2^{a-1}-2^a) + (2^{b+1}-2^b) \\
&= m -2^{a-1} + 2^b \\
&< m
\end{align*}$$
ซึ่งน้อยกว่าเดิม เพราะฉะนั้น การที่ $m$ จะน้อยสุดนั้น ทุกสองพจน์ใดๆ ของลำดับ $a_1,a_2,...,a_{25}$ จะต้องต่างกันไม่เกิน $1$ แต่ผลบวกต้องเป็น $61$ เพราะฉะนั้น ลำดับนี้ต้องประกอบไปด้วย $2,3$ เท่านั้น
แก้สมการได้ไม่ยากว่าต้องมี $2$ ทั้งหมด $14$ ตัว และ $3$ ทั้งหมด $11$ ตัว เพราะฉะนั้น คำตอบคือ $14\cdot 2^2 + 11\cdot 2^3 - 25 = \boxed{119}$
คำตอบคือ $n=10$ ซึ่งสามารถสร้างได้โดยใช้ $101,102,...,121$ ต่อไปจะแสดงว่ามากสุด
ให้หมายเลขสลากเป็น $a_1 > a_2 >... > a_{2n+1}$ สังเกตว่า $ a_{n+i+1}\leqslant a_i- n+1$ สำหรับทุก $i$ เพราะฉะนั้น
$$\begin{align*}
2331 &\leqslant (a_1+a_2+...+a_n) + (a_{n+1}) + (a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{2n+1}) \\
&\leqslant a_{n+1} + (a_1+a_2+...+a_n) + [(a_1-(n+1)) + (a_2-(n+1)) +...+ (a_n -(n+1))] \\
&= a_{n+1} + 2(a_1+a_2+...+a_n) - n(n+1) \\
&\leqslant a_{n+1} + 2330 - n(n+1)
\end{align*}$$
เพราะฉะนั้น $a_{n+1} \geqslant n(n+1)$ ดังนั้น $a_{n+1-i}\geqslant n(n+1) + i$ สำหรับทุก $i=1,2,...,n$ เพราะฉะนั้น
$$\begin{align*}
1165 &\geqslant a_1+a_2+...+a_n \\
&\geqslant (n(n+1)+1) + (n(n+1)+2) + (n(n+1)+3) + ... + (n(n+1)+n) \\
&= \frac{(n(2n^2+3n+1)}{2}
\end{align*}$$
เพราะฉะนั้น $n\leqslant 10$ ตามต้องการ
ให้ $X, Y$ เป็น projection จาก $K, L$ ลง $AP$
ให้ $Q'$ เป็นจุดบน $AP$ ที่ทำให้ $PX = Q'Y$ จะแสดงว่า $Q=Q'$ จาก $\angle KPL = 90^{\circ}$ จะได้
$$\begin{align*}
\Delta KPX\sim \Delta PLY &\implies \frac{KX}{PY} = \frac{PX}{LY} \\
&\implies \frac{KX}{Q'X} = \frac{Q'Y}{LY} \\
&\implies \Delta KQ'X \sim\Delta Q'LY
\end{align*}$$
เพราะฉะนั้น $\angle KQ'L = 90^{\circ}\implies Q'=Q$ ตามต้องการ
สุดท้ายนี้ สังเกตว่า
$$\begin{align*}
AQ &= AP - PX - PY \\
&= AP - \frac{AP+BP-AB}{2} - \frac{AP+CP-AC}{2} \\
&= AP- \frac{2AP + BC - AB- AC}{2} \\
&= \frac{AB+AC-BC}{2}
\end{align*}$$
ดังนั้น $AQ=AD$ ตามต้องการ