[Thgx0312555]

Solution ข้อ 10 แก้ใหม่แล้ว

10.

$$af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y); y > 2018 \quad ...(0)$$

$$af(x+2y)+bf(x-2y)=cf(x)+g(2y) \quad ...(1)$$
ได้ไม่ยากว่า
$$a^2f(x+2y)+b^2f(x-2y)=(c^2-2ab)f(x)+g(y)(a+b+c) \quad ...(2)$$
จาก (1),(2)
$$(a^2-ab)f(x+2y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_1(y) \quad ...(3)$$
เมื่อ $h_1(y) = g(y)(a+b+c)-g(2y)$
$$(a^2-ab)f(x+4y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_2(y) \quad ...(4)$$
เมื่อ $h_2(y) = h_1(2y)$

จาก (3),(4)
$$(a^2-ab)(f(x+4y)-f(x+2y))=h_2(y)-h_1(y)$$

Case 1. If $a \neq b$ then $$f(x+4y)-f(x+2y)=h_3(y)$$
เมื่อ $h_3(y) = \dfrac{h_2(y)-h_1(y)}{a^2-ab}$

จะได้ไม่ยากว่า
$$ f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_4(y)$$
เมื่อ $h_4(y)=2h_3(y)$

Case 2. If $a=b$ พิจารณาสมการที่ 3
$$0=(c^2-2a^2-ac)f(x)+h_1(y)$$

$c=2a$ or $c=-a$ or $f(x)$ is constant

Case 2.1 If $c=2a$ พิจารณาสมการที่ 1
$$f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_5(x)$$
เมื่อ $h_5(x)=\dfrac{g(2y)}{a}$

Case 2.2 If $c=-a$ พิจารณาสมการที่ 1
$$f(x+6y)=f(x)$$
จะได้ว่า $f(x)$ is constant

Case 2.3 $f(x)$ is constant -> trivial

Conclusion

ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+h(y)$$
สำหรับ $y > 4036$ แล้ว

ขยายเป็น $y \in \mathbb{R}$ ไม่ยากแล้วครับ