[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้

$$f(x+f(y)) = f(x) + y^{2.018}$$

สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $y>0$

ขอข้อเดียวก่อนครับ ไม่ชัวร์ด้วย 555

Let $k=2.018,c=f(0)$ the equation becomes $f(x+f(y))=f(x)+y^k$
$P(x,0):f(x+c)=f(x)\Longrightarrow f(c)=c$
$P(x,c):f(x)=f(x+c)=f(x)+c^k\therefore f(0)=c=0:P(0,x)\Longrightarrow f(f(x))=x^k$ see that $f(f(1))=1$
$$(x+f(y))^k=f(f(x+f(y)))=f(y^k+f(x))=f(y^k)+x^k...(m)$$
replace $x=0$ in the above equation we have $\displaystyle f(y^k)=f(y)^k$
replace $x=1,y=f(1)$ in the equation $(m)$ we have $2^k=2$ which is impossible since $k\not =1$