ข้อนี้เป็นโจทย์บ้าพลังหรือเปล่า
หรือว่ามีความสวยงามซ่อนอยู่
Note.
อ้างอิง:
$\cos(2\pi/7) + \cos(4\pi/7) + \cos(8\pi/7) = -1/2$
$\sin(2\pi/7) + \sin(4\pi/7) + \sin(8\pi/7) = \sqrt{7}/2$
|
$z = cis(2k\pi/7) , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
ถ้า $k = 1, 2, 4$ แล้ว $(z^4+z^2+z+2) = \frac{3 + \sqrt{7}i}{2}$
ถ้า $k = 3, 5, 6$ แล้ว $(z^4+z^2+z+2) = \frac{3 - \sqrt{7}i}{2}$
ดังนั้นที่โจทย์ถามคือ $3[(\frac{3 + \sqrt{7}i}{2})^9 + (\frac{3 - \sqrt{7}i}{2})^9] = \frac{3}{512}[(3 + \sqrt{7}i)^9 + (3 - \sqrt{7}i)^9)]$
ให้ $A = 3 + \sqrt{7}i, B = 3 - \sqrt{7}i$
ดังนั้น $A, B$ เป็นรากของสมการ $x^2 - 6x + 16 = 0$
ให้ $S_n = A^n + B^n$ จะได้ $S_n = 6S_{n-1} - 16S_{n-2}, n \ge 3, S_1 = 6, S_2 = 4$
ดังนั้นคำตอบคือ $\frac{3}{512}S_9$