[warut]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
2. ให้หาจำนวนเต็มบวก x, y ทั้งหมดที่ทำให้ 7^x - 3^y = 4

เกือบ 5 ปีผ่านไป ในที่สุดผมก็ทำข้อนี้ได้แล้วครับ

จาก $7^x-3^y=4$ ดังนั้น $$7(7^{x-1}-1)=3(3^{y-1}-1)$$ แสดงว่า $7\mid3^{y-1}-1$ และเนื่องจาก order ของ 3 modulo 7 คือ 6 เราจึงได้ว่า $6\mid y-1$ ให้ $y=6b+1$ ดังนั้น $$7(7^{x-1}-1)=3(3^{6b}-1)$$ เนื่องจาก $13\mid3^3-1$ ดังนั้น $13\mid3^{6b}-1$ แสดงว่า $13\mid7^{x-1}-1$ เนื่องจาก order ของ 7 modulo 13 คือ 12 เราจึงได้ว่า $12\mid x-1$ ให้ $x=12a+1$ ดังนั้น $$7(7^{12a}-1)=3(3^{6b}-1)$$ เนื่องจาก $9\mid7^3-1$ ดังนั้น $9\mid7^{12a}-1$ แสดงว่า $3\mid3^{6b}-1$ ดังนั้น $b=0$ นั่นคือคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกมีเพียง $x=y=1$ ครับ