ผิดถูกอย่างไรรบกวนชี้แนะด้วยนะครับ หรือถ้ามีวิธีสั้นกว่านี้ก็แนะนำได้เลยครับ ตอนท้ายผมนึกไม่ออกว่าทำยังไงให้มันไม่ต้องแยกกรณีเยอะขนาดนี้
1. สมมติให้ $a-1=m^x, ab-12=m^y, abc-2015=m^z$
จะได้ $a=m^x+1, b=\frac{m^y+12}{m^x+1}, c=\frac{m^z+2015}{m^y+12} $
กรณี $m=1$
ลองแทนค่าจะเห็นว่า $b, c$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ดังนั้น $m\geqslant 2$
กรณี $x, y, z$ ไม่มีตัวใดมีค่าเป็น $0$ เลย
จะได้ว่า ถ้า $m$ เป็นเลขคู่ จะได้ $m^x, m^y, m^z$ จะเป็นเลขคู่ด้วย และ $c=\frac{เลขคี่}{เลขคู่} $ ซึ่งไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้น กรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $m$ เป็นเลขคี่ จะได้ $b=\frac{เลขคี่}{เลขคู่} $ ไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ดังนั้น $x, y, z$ ต้องมีบางตัวเป็น $0$
กรณี $y=0$
แทนค่าได้ $b=\frac{13}{m^x+1} $
ดังนั้น $m^x+1=13$ จะได้ $m^x=12$ ซึ่งมีคำตอบเดียวคือ $m=12, x=1$
จะได้ $c=\frac{12^z+2015}{13} $
เพราะว่า $13\mid 2015$ แต่ $13\nmid 12^z$ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ดังนั้น $y\geqslant 1$
กรณี $x=0$
แทนค่าได้ $a=2$
$b=\frac{m^y+12}{2}$ จะได้ว่า $m$ ต้องเป็นเลขคู่ จะทำให้ $b$ เป็นจำนวนเต็มเสมอ
$c=\frac{m^z+2015}{m^y+12}$ จะได้ว่า $z$ ต้องเป็น 0
แทนค่าได้ $c=\frac{2016}{m^y+12} $
ดังนั้น จะต้องหาค่าของ $m$ และ $y$ ที่ทำให้ $\frac{2016}{m^y+12} $ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $m$ เป็นเลขคู่และ $y\geqslant 1$
กรณี $y=1$
จะได้ $c=\frac{2016}{m+12} $
ดังนั้น $m+12$ เป็นตัวประกอบของ $2016$ ทุกตัวที่เป็นเลขคู่และมีค่ามากกว่า $12$ ซึ่งจะมีทั้งหมด $25$ ค่า
ดังนั้น
กรณีนี้มี $25$ คำตอบ
กรณีหลังจากนี้จะมีค่า $y\geqslant 2$ ดังนั้น ให้ $m=2k$ จะได้ $c=\frac{504}{2^{y-2}k^y+3} $
กรณี $y=2$
$c=\frac{504}{k^2+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะได้ $k=1, 2, 3, 5, 9$
ดังนั้น
กรณีนี้มี $5$ คำตอบ
กรณี $y=3$
$c=\frac{504}{2k^3+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y=4$
$c=\frac{504}{4k^4+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะได้ $k=1$
ดังนั้น
กรณีนี้มี $1$ คำตอบ
กรณี $y=5$
$c=\frac{504}{8k^5+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y=6$
$c=\frac{504}{16k^6+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y=7$
$c=\frac{504}{32k^7+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y=8$
$c=\frac{504}{64k^8+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y=9$
$c=\frac{504}{128k^9+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y=10$
$c=\frac{504}{256k^10+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้
กรณี $y\geqslant 11$
จะพบว่า ${2^{y-2}k^y+3} > 504 $
ดังนั้น ไม่มีคำตอบ
สรุปว่ามี $(a,b,c)$ ทั้งหมด $25+5+1=31$ ชุดคำตอบ