[gon]

ข้อ 1. ให้ $\sqrt{3}+\sqrt{5}i = (a+bi)^3 \Rightarrow |\sqrt{3}+\sqrt{5}i | = |(a+bi)^3| \Rightarrow 2^{3/2} = (a^2+b^2)^{3/2} \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2}$

ข้อ 2. ลองแล้วติด i เหมือนกันครับ $f(1-i)+f(3i) = (1-2i)^3+6 + (2i)^3 + 6$

ข้อ 3.

solution

$z^5 = 1$ ดังนั้นยุบเป็น $\frac{1}{5+z^1} + \frac{1}{5+z^2} + \frac{1}{5+z^{3}} + \frac{1}{5+z^{4}}$

ให้ $z = a, z^2= b, z^3 = c, z^4 = d$ จะได้ว่า $a, b, c, d$ เป็นรากของสมการ $x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$

ให้ $y = \frac{1}{5+x} $แล้ว $x = \frac{1-5y}{y}$

แทนกลับไปสมการด้านบนได้ $(1-5y)^4+y(1-5y)^3+y^2(1-5y)^2+y^3(1-5y)+y^4=0 $

ให้สัมประสิทธิ์ของ $y^4$ คือ $m$ และ สัมประสิทธิ์ของ $y^3$ คือ $n$

โดย vieta's formula จะได้ว่าคำตอบคือ $-\frac{n}{m}$