อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ first
$1. x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)$
$3.(xy-1)(x-1)(y+1)-xy$
|
อีกวิธีหนึ่งคือใช้วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ครับ
ข้อ 1. สมมติให้ $x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)=(x+k_1)(x+k_2)(x+k_3)$
เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้
$$\begin{array}{rcl}
k_1+k_2+k_3&=&2a+1\\
k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1&=&a^2+2a-1\\
k_1k_2k_3&=&a^2-1\\
\end{array}$$
(สังเกตบรรทัดแรกคือนำ $k$ มาทีละ 1 ตัว บรรทัดต่อมาก็คือทีละ 2 และ 3 ตัวตามลำดับ)
โดยการสังเกตจากสมการสุดท้าย (ดูว่าอะไรคูณกันแล้วได้ $a^2-1$) จะได้ $(k_1,k_2,k_3)=(1,a+1,a-1)$ (สลับที่กันได้)
และเมื่อนำไปตรวจสอบกับสองสมการที่เหลือ พบว่าสมการเป็นจริง
ฉะนั้น $x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)=(x+1)(x+a+1)(x+a-1)$
ส่วนข้อ 3. พิจารณา $(xy-1)(x-1)(y+1)-xy=(xy-1)(xy+(x-y-1))-xy$
แทนที่จะมองในรูปพหุนามตัวแปร $x$ เหมือนข้อ 1. ให้มองให้รูปของพหุนาม $xy$ โดยให้ $xy=z$ ฉะนั้น
$$\begin{array}{rcl}
(xy-1)(x-1)(y+1)-xy&=&(z-1)(z+(x-y-1))-xy\\
&=&z^2+(x-y-2)z-(xy+x-y-1)\\
&=&z^2+(x-y-2)z-(x-1)(y+1)\\
&=&z^2+(x-y-2)z+(x-1)(-y-1)\\
&=&(z+x-1)(z-y-1)\\
&=&(xy+x-1)(xy-y-1)
\end{array}$$
ในที่นี้แทน $xy=z$ เพื่อไม่ให้พหุนามดูซับซ้อนจนตาลายครับ และสังเกตว่าเราไม่แทน $xy$ พจน์สุดท้าย เพื่อให้พจน์ท้าย ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ครับ