[Switchgear]

Problem 1:
It is required to find four affirmative integer numbers, such that the sum of
every two of them shall be a cube.

ปัญหาข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็มบวกสี่จำนวน ซึ่งผลบวกของสองจำนวนใดๆ อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสาม

วิธีทำ
เราเริ่มต้นด้วยการสมมติให้จำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวน คือ
$P\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right),\;\;Q\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 - y^3 + z^3 } \right),$
$R\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - x^3 + y^3 + z^3 } \right),\;\;S\; = \;v^3 - {\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)$

ซึ่งจะพบว่า $P + Q\; = \;x^3 ,\;\;P + R\; = \;y^3 ,\;\;Q + R\; = \;z^3 ,\;\;P + S\; = \;v^3$

ตอนนี้เราได้ 4 ใน 6 คู่ของผลบวกทีละสองจำนวนที่อยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสามแล้ว

สมมติให้ $Q + S\; = \;v^3 - y^3 + z^3 \; = \;w^3$ จัดรูปได้เป็น $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3$
สมมติให้ $R + S\; = \;v^3 - x^3 + z^3 \; = \;u^3$ จัดรูปได้เป็น $v^3 + z^3 \; = \;u^3 + x^3$
นั่นคือเราต้องแก้ระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$
เพื่อหา $v,\;x,\;y,\;z$ ออกมา

เรามาเริ่มแก้สมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3$ กันก่อน
แทน $v\; = \;a + b,\;\;z\; = \;a - b,\;\;w\; = \;c + d,\;\;y\; = \;c - d$ จะได้ $a(a^2 + 3b^2 )\; = \;c(c^2 + 3d^2 )$
สมมติให้ $a\; = \;3np + 3mq,\;\;b\; = \;mp - 3nq,\;\;c\; = \;3nr + 3ms,\;\;d\; = \;mr - 3ns$
เมื่อแทนค่าในสมการ แล้วจัดรูปจะได้ $(np + mq)(p^2 + 3q^2 )\; = \;(nr + ms)(r^2 + 3s^2 )$
นั่นคือ $m:n\; = \;r(r^2 + 3s^2 ) - p(p^2 + 3q^2 ):q(p^2 + 3q^2 ) - s(r^2 + 3s^2 )$
เมื่อเราให้ $m\; = \;r(r^2 + 3s^2 ) - p(p^2 + 3q^2 )$ จะได้ $n\; = \;q(p^2 + 3q^2 ) - s(r^2 + 3s^2 )$ ดังนั้น
$a\; = \;3np + 3mq\; = \;(3rq - 3ps)(r^2 + 3s^2 )$
$b\; = \;mp - 3nq\; = \;(pr + 3qs)(r^2 + 3s^2 ) - (p^2 + 3q^2 )^2$
$c\; = \;3nr + 3ms\; = \;(3rq - 3ps)(p^2 + 3q^2 )$
$d\; = \;mr - 3ns\; = \;(r^2 + 3s^2 )^2 - (pr + 3qs)(p^2 + 3q^2 )$
ตอนนี้เราก็แทนค่าหา $v\; = \;a + b,\;\;z\; = \;a - b,\;\;w\; = \;c + d,\;\;y\; = \;c - d$ ได้แล้ว
เราลองเลือก $p,\;q,\;r,\;s$ ที่ทำให้ $v,\;z,\;w,\;y$ เป็นค่าบวก โดยเริ่มจาก $0$ ไล่ขึ้นไปเรื่อยๆ
จะพบผลลัพธ์แรกที่ต้องการเมื่อ $p\; = \;6,\;\;q\; = \;14,\;\;r\; = \;7,\;\;s\; = \;14$
ซึ่งจะได้ $v\; = \;13 \times 2976,\;\;z\; = \;13 \times 1140,\;\;w\; = \;13 \times 2989,\;\;y\; = \;13 \times 1043$
หารด้วย $13$ ก็จะได้ $2976^3 + 1140^3 \; = \;2989^3 + 1043^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$

คราวนี้เราต้องแก้สมการส่วนที่เหลือคือ $u^3 + x^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$
ซึ่งโจทย์ที่เราแก้คือการแบ่ง $13 \times 3613$ ให้เป็นผลบวกของกำลังสามสองตัว
เนื่องจาก $13 \times 3613$ เป็นจำนวนคี่ สมมติให้ ${\textstyle{1 \over 2}}(f + g)^3 + {\textstyle{1 \over 2}}(f - g)^3 \; = \;3 \times 3613$
จัดรูปให้เรียบร้อยจะได้ $f(f^2 + 3g^2 )\; = \;4 \times 3 \times 3613$
แต่ว่า $3613$ เป็นจำนวนเฉพาะ และเห็นชัดอยู่แล้วว่าต้องมากกว่า $f$
เมื่อ $f$ เป็นจำนวนเต็มก็ต้องเป็นตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งจาก $1,\;2,\;4,\;13,\;23,\;52$
จากการทดสอบพบคำตอบ คือ $f\; = \;13,\;\;g\; = \;69,\;\;{\textstyle{1 \over 2}}(f + g)\; = \;41,\;\;{\textstyle{1 \over 2}}(f - g)\; = \; - 28$
นั่นคือ $41^3 - 28^3 \; = \;3 \times 3613$ ซึ่งอยู่ในรูปของผลต่างของกำลังสามสองตัว
แปลงเป็นผลบวกโดยใช้เอกลักษณ์ $a^3 - b^3 \; = \;\left( {{{a(a^3 - 2b^3 )} \over {a^3 + b^3 }}} \right)^3 + \left( {{{b(2a^3 - b^3 )} \over {a^3 + b^3 }}} \right)^3 $
เมื่อแทนค่า $a\; = \;41,\;\;b\; = \; - 28$ จะได้ $\left( {{{1081640} \over {30291}}} \right)^3 + \left( {{{341899} \over {30291}}} \right)^3 \; = \;13 \times 3613$
ดังนั้นจึงได้ว่า $u^3 + x^3 \; = \;\left( {{{30285920} \over {10097}}} \right)^3 + \left( {{{9573172} \over {10097}}} \right)^3 \; = \;7^3 \times 3^3 \times 4^3 \times 13 \times 3613$

เราได้คำตอบของระบบสมการ $v^3 + z^3 \; = \;w^3 + y^3 \; = \;u^3 + x^3$ คือ
$2976^3 + 1140^3 \; = \;2989^3 + 1043^3 \; = \;\left( {{{30285920} \over {10097}}} \right)^3 + \left( {{{9573172} \over {10097}}} \right)^3 $
ทำการคูณด้วยตัวคูณเพื่อแปลงให้เป็นจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด จะได้
$v\; = \;60571840,\;\;x\; = \;23021160,\;\;y\; = \;21062342,\;\;z\; = \;19146344$

นำไปแทนค่าหาจำนวนเต็มบวกทั้ง 4 จำนวนที่โจทย์ต้องการ คือ
$P\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)\; = \;{\rm 7,262,810,476,410,016,163,052}$
$Q\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 - y^3 + z^3 } \right)\; = \;{\rm 4,937,801,347,510,680,732,948}$
$R\; = \;{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - x^3 + y^3 + z^3 } \right)\; = \;{\rm 2,080,913,082,956,455,142,636}$
$S\; = \;v^3 - {\textstyle{1 \over 2}}\left( {x^3 + y^3 - z^3 } \right)\; = \;{\rm 214,972,108,693,241,589,340,948}$


เฮ้อ...กว่าจะเฉลยจนจบได้ เป็นยังไงบ้างครับ ทึ่งกับวิธีแก้โจทย์ของคนสมัยก่อนหรือเปล่า ?
.