[rendv]

Problem 5. (ทำซ่อนไม่เป็นอ่ะครับ 55)
ให้ $\angle BAC= \alpha$ และ $\angle NAB=\beta $
จาก $\angle ADC = 180^{\circ}-\angle ANC = 180^{\circ}-\angle AGK$ ดังนั้น $AGKD$ cyclic
จาก $N$ และ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง $ABC$ และ $ADC$ ตามลำดับ จะได้ว่า $\overline{NM}\bot \overline{AC}$ และได้ว่า $\overline{NM} \parallel \overline{BD}$
ทำให้ ส่วนโค้ง $HN =$ ส่วนโค้ง $MD =$ ส่วนโค้ง $NB$ และทำให้ส่วนโค้ง $AH =$ ส่วนโค้ง $BC$ ตามมา
จากข้อมูลส่วนนี้ เราสามารถไล่มุม $\alpha$ และ $\beta$ ได้ดังรูป

$\angle ACD = 90^{\circ}-\alpha$
$\angle CKG = 180^{\circ}-\angle NCK=180^{\circ}-\angle NAD=90^{\circ}-\beta\rightarrow \angle AKC=90^{\circ}-\beta+\alpha$
ดังนั้น $\angle CAK=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-(90^{\circ}-\beta+\alpha)=\beta$
ทำให้ $APQM$ cyclic และได้ว่า $\angle AQM = \angle APM = 90^{\circ}$