2. จำนวนเชิงสี่หน้า (tetrahedral numbers) คือจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $T_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} $ เมื่อ $n \in \mathbb{N} $
ให้ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},...,T_{n_k}\}$ เป็นเซตของจำนวนเชิงสี่หน้าซึ่งสมาชิกใน $S$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันทุกคู่
จงแสดงว่าจะมีจำนวนเชิงสี่หน้าเป็นจำนวนอนันต์ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันกับสมาชิกแต่ละตัวใน $S$
จะพิสูจน์ข้อความดังกล่าวโดย Induction on $k$
ให้ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_k}\}$
ขั้นฐาน $k=1$ :
ถ้า $T_{n_1}=1$ ข้อความเป็นจริง
ถ้า $T_{n_1}\not=1$ ให้เลือก $T_l = \frac{l(l+1)(l+2)}{6} \equiv 1 (\bmod \frac {n(n+1)(n+2)}{6})$
ขั้นอุปนัย สมมุติว่าถ้า $k=l, S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_l}\}$ แล้วข้อความดังกล่าวเป็นจริง
ถ้า $k=l+1$, พิจารณา $S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_{l+1}}\}$
และพิจารณาค่า $L \in \mathbb{N}$ ที่สอดคล้องกับ $S=\{T_{n_1},T_{n_2},\ldots, T_{n_l}\}$,
$\frac{L(L+1)(L+2)}{6} \equiv 1 (\bmod T_{n_1}T_{n_2}\ldots T_{n_l})$
จากขั้นฐาน เราสามารถเลือก $\frac{M(M+1)(M+2)}{6} \equiv 1 (\bmod T_{n_{l+1}})$
โดย Chinese Remainder Theorem, จะมีค่า $S \in \mathbb{N}$ เสมอที่
$\frac{S(S+1)(S+2)}{6}\equiv\frac{L(L+1)(L+2)}{6}(\bmod T_{n_1}T_{n_2}\ldots T_{n_l})$
$\frac{S(S+1)(S+2)}{6}\equiv\frac{M(M+1)(M+2)}{6} \equiv 1(\bmod T_{n_{l+1}})$
ดังนั้น $\frac{S(S+1)(S+2)}{6}\equiv 1(\bmod T_{n_1}T_{n_2}\ldots T_{n_{l+1}})$