[NaPrai]

- ข้อ 1 คือจุด Fermat point

- ข้อ 2 มีเอกลักษณ์ตัวนึงที่น่าสนใจนะครับคือ $PA^2+PB^2+PC^2 = GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2$ โดยที่ $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์
วิธีในการพิสูจน์จะใช้ Stewart's theorem ในการพิสูจน์ โดยลองสังเกตจุดกึ่งกลางของแต่ละด้าน และลองหาความสัมพันธ์บางอย่างดู

- ข้อ 4 คำตอบคือ $3\sqrt{3}r^2$
จากความสัมพันธ์ที่ว่า $r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ พอใช้ความจริงจาก AM-GM จะได้ว่า $(s-a)(s-b)(s-c) \le \frac{s^3}{27}$ นั่นหมายความว่า $\boxed{s \ge 3\sqrt{3}r}$
คราวนี้มาดูที่จากความจริงว่าพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\boxed{rs\ge 3\sqrt{3}r^2}$ โดยอสมการเป็นสมการเมื่อ สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า