[NaPrai]

วิธีที่ 6
วิธีนี้จะมานำเสนอวิธีการใช้ Cauchy-Schwarz แบบมาตรฐาน หรือที่รู้จักกันในนาม Titu's lemma

\begin{align*}\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^2}{(c+a)^2} &= \frac{(a(c+a))^2}{(a+b)^2(c+a)^2}+\frac{(b(a+b))^2}{(b+c)^2(a+b)^2}+\frac{(c(b+c))^2}{(c+a)^2(b+c)^2}
\\&\ge\frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{(a+b)^2(b+c)^2+(b+c)^2(c+a)^2+(c+a)^2(a+b)^2}\\&=\frac{1}{4}\frac{((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 )^2}{ (a+b)^2(b+c)^2+(b+c)^2(c+a)^2+(c+a)^2(a+b)^2 }\\&\ge \frac{3}{4} \end{align*}

อสมการสุดท้ายเป็นจริงจากความจริงสุดคลาสสิค (อีกแล้ว 555) ที่ว่า $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$