ข้อนี้เป็นโจทย์คลาสสิคจากการใช้อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก (Weighted AM-GM) เลยครับ
ก่อนอื่นเริ่มจากการปรับดีกรีของทั้งสองข้างของอสมการให้เท่ากันก่อน ก็จะได้ว่าอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ
$a^4b+b^4c+c^4d+d^4a \ge a^2bcd + ab^2cd + abc^2d +abcd^2$
ไอเดียคือลองพิจารณา $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \in \mathbb{R^+}\cup \left\{0\right\}$ ที่ทำให้ $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = 1$ โดยอสมการ Weighted AM-GM ก็จะได้ว่า
$\lambda_1 a^4b+\lambda_2b^4c+\lambda_3c^4d+\lambda_4d^4a \ge a^{4\lambda_1+\lambda_4}b^{4\lambda_2+\lambda_1}c^{4\lambda_3+\lambda_2}d^{4\lambda_4+\lambda_3}$
ทีนี้ลองพิจารณาทีละก้อนของฝั่งขวาของอสมการที่เราจะพิสูจน์กันเลยครับ เริ่มจากเทียบ $a^2bcd$ กับ $a^{4\lambda_1+\lambda_4}b^{4\lambda_2+\lambda_1}c^{4\lambda_3+\lambda_2}d^{4\lambda_4+\lambda_3}$โดยการเทียบเลขชี้กำลังของ $a,b,c,d$ และการแก้ระบบสมการออกมาจะได้ว่า $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)=(\frac{23}{51},\frac{7}{51},\frac{11}{51},\frac{10}{51})$
นั่นคือได้ว่า
$\frac{23}{51}a^4b+\frac{7}{51}b^4c+\frac{11}{51}c^4d+\frac{10}{51}d^4a \ge a^2bcd$
ทำในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า
$\frac{7}{51}a^4b+\frac{11}{51}b^4c+\frac{10}{51}c^4d+\frac{23}{51}d^4a \ge ab^2cd$
$\frac{11}{51}a^4b+\frac{10}{51}b^4c+\frac{23}{51}c^4d+\frac{7}{51}d^4a \ge abc^2d$
$\frac{10}{51}a^4b+\frac{23}{51}b^4c+\frac{7}{51}c^4d+\frac{11}{51}d^4a \ge abcd^2$
พอเอาสี่อสมการนี้มารวมกันก็จะได้ตามต้องการครับ