คำตอบคือ $280$
ก่อนอื่นมาดูเงื่อนไขก่อนเลยครับ ผมจะสร้างเงื่อนไขใหม่ที่ง่ายกว่าและยังสมมูลกับเงื่อนไขเดิม โดยใช้การพิสูจน์ข้อความด้านล่างนี้
-----------------------------------------------------------------------------------
$\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ ก็ต่อเมื่่อ $ในกลุ่มของ \ a,b,c \ มีสองตัวที่่มีค่าเท่ากัน \ กล่าวคือ \ a=b \ หรือ \ b=c \ หรือ \ c=a$
พิสูจน์ $\left(\Rightarrow \right)$ ถ้า $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$
โดยเอกลักษณ์ทางพีชคณิตที่ว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ เมื่อแทน $x=\sqrt[3]{a-b}, y=\sqrt[3]{b-c}, z=\sqrt[3]{c-a}$ จะได้ว่า
\begin{align*}-3\sqrt[3]{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\end{align*}
ดังนั้น จะได้ว่า $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ ตามต้องการ
$\left(\Leftarrow \right)$ ถ้า $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ ไม่ว่าจะเป็นกรณีไหนก็ตามก็จะได้ว่า $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ ตามต้องการ
-----------------------------------------------------------------------------------
ดังนั้นเราจึงแปลงเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาได้เป็นดังนี้
$X=\left\{(a,b,c) \mid a,b,c \in U \ และ\ (a=b \ หรือ \ b=c \ หรือ \ c=a)\right\} $
ซึ่งที่เหลือก็ไม่ยากครับในการจะหา $\left|X\right| $ โดยคิดกรณีของ $a,b,c$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วหักออกด้วยกรณีที่ $a\not= b \not= c$ ซึ่งเท่ากับ $10^3 - (10 \times 9 \times 8)=280$