วิธีที่ 7
วิธีนี้ขอเรียกว่า วิธี "แปลงแล้วแปลงอีก" โดยหลักการของวิธีนี้คือการแทนค่าตัวแปร จากนั้นก็แทนค่ากลับด้วยอีกค่าหนึ่ง เพื่อให้อสมการเป็นอสมการสมมาตรดังนี้
ก่อนอื่นให้ $x=\frac{b}{a}, y=\frac{c}{b}, z=\frac{a}{c}$ ก็จะได้ว่าจะต้องพิสูจน์ว่า
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \ge \frac{3}{4}$ สำหรับ $x,y,z \in \mathbb{R^+}$ ใด ๆ ที่ $xyz=1$
จากนั้นเราจึงแทนค่ากลับด้วย $x=\frac{qr}{p^2}, y=\frac{pr}{q^2}, z=\frac{pq}{r^2}$ ก็จะได้ว่าอสมการที่จะพิสูจน์นั้น เปลี่ยนโฉมไปเป็น
$\frac{p^4}{(p^2+qr)^2}+\frac{q^4}{(q^2+pr)^2}+\frac{r^4}{(r^2+pq)^2} \ge \frac{3}{4}$
สำหรับจำนวนจริงบวก $p,q,r$ ใด ๆ
ซึ่งการพิสูจน์นั้น หลัก ๆ ก็คือใช้
อสมการโคชี-ชวาร์ช ก่อนก็จะได้ว่า
\begin{align*}\frac{p^4}{(p^2+qr)^2}+\frac{q^4}{(q^2+pr)^2}+\frac{r^4}{(r^2+pq)^2} &\ge \frac{(p^2+q^2+r^2)^2}{(p^2+qr)^2+(q^2+pr)^2+(r^2+pq)^2} \\&= \frac{(p^4+q^4+r^4)+2(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2)}{(p^4+q^4+r^4)+(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2)+2pqr(p+q+r)}\end{align*} ที่เหลือจึงแค่พิสูจน์ว่า $\frac{(p^4+q^4+r^4)+2(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2)}{(p^4+q^4+r^4)+(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2)+2pqr(p+q+r)} \ge \frac{3}{4}$ ซึ่งพอกระจายเศษส่วนออกก็จะได้ว่าต้องพิสูจน์ว่า $(p^4+q^4+r^4)+5(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2) \ge 6pqr(p+q+r)$ โดยพิสูจน์ได้ไม่ยากและทำได้หลายวิธี เช่น การใช้อสมการ $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca $ ดังนี้
$(p^4+q^4+r^4)+5(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2) \ge 6(p^2q^2+q^2r^2+p^2r^2) \ge 6pqr(p+q+r)$