ก่อนอื่นขอเริ่มจากข้อ 6 ก่อนละกันนะครับ ถ้าได้ข้อนี้แล้วมันจะเป็นพื้นฐานของข้ออื่น ๆ ด้วย
การเปลี่ยนจากพิกัดเชิงขั้วให้ไปอยู่ในพิกัดฉาก หรือก็คือจากจุด $(r,\theta)$ ไปยัง $(x,y)$ ก็คือใช้สูตรนี้
$x=r\cos \theta$ และ $y=r\sin \theta$
ส่วนการแปลงกลับมาจากพิกัดฉากให้ไปอยู่ในพิกัดเชิงขั้ว ก็ใช้การแก้สมการจากสูตรด้านบน
ยกตัวอย่าง (ข้อ 6.1) จากโจทย์ก็จะได้ว่า $x=5, y=-5\sqrt{3}$ แทนค่าเข้าไปในสูตรก็จะได้ว่า
$5=r\cos\theta$ และ $-5\sqrt{3}=r\sin\theta$
ยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วนำมาบวกกันจะได้ว่า $r^2 = 100$ เลือกค่าบวกเลยได้ว่า $\boxed{r=10}$ จากนั้นก็นำไปแทนกลับในสมการบรรทัดที่แล้วเพื่อแก้หาค่า $\theta$ ก็จะได้ว่า $\boxed{\theta = \frac{2\pi}{3}}$
สรุปจึงได้ว่าพิกัดเชิงขั้วก็คือ $\left(10,\frac{2\pi}{3}\right)$
คอนเซปต์หลัก ๆ ก็คือ $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ คือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ $\overrightarrow{u}$ และ $\overrightarrow{v}$
ปริมาตรของกล่องปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ $u,v,w$ คือ $\left\Vert\ (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{w}\right\Vert $
พื้นที่สามเหลี่ยมที่เกิดจาก $\overrightarrow{u}$ และ $\overrightarrow{v}$ คือ $\frac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} \right\Vert$
ข้อนี้หลัก ๆ คือการใช้ความรู้เรื่องสมการที่กำหนดโดยเวกเตอร์ โดยสมการเส้นตรงจะเป็นดังนี้
$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c) = (x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)$
เมื่อเส้นตรงนั้นผ่านจุดคงที่ $(x_0,y_0,z_0)$ และ $(a,b,c)$ เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง หรือหากว่าพูดกันง่าย ๆ ก็คือเวกเตอร์ตัวนี้เนี่ยเป็นตัวที่บ่งบอกว่าสมการเส้นตรงนั้นมีทิศทางเป็นยังไง
ตัวอย่าง (ข้อ 13.1) ก่อนอื่นต้องหาเวกเตอร์ที่ขนานกับสมการเส้นตรง $x=-4+2t, y=2-t, z=3t$ ก่อน ซึ่งก็คือตัวเลขหน้า $t$ นั่นหละครับ นั่นคือ $(2,-1,3)$ ที่เป็นแบบนี้ก็เพราะว่า $(x,y,z)=(-4+2t,2-t,3t)=(-4,2,0)+t$
$(2,-1,3)$
ต่อจากนั้นก็จะถึงบทสรุปละ โดยเราก็จะต้องหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $(1,-2,4)$ ที่ขนานกับเวกเตอร์ $(2,-1,3)$ ซึ่งก็คือ
$(x,y,z)=(1,-2,4)+t(2,-1,3)=(1+2t,-2-t,4+3t)$
ดังนั้น คำตอบก็คือเส้นตรง $x=1+2t, y=-2-t, z=4+3t$