ข้อ 21
สังเกตนิดหน่อยว่า $(p+q)^2=p^3+q^3$ ก็คือ $(p+q)(p^2-pq+q^2-p-q)=0$ ดังนั้นคำตอบนึงแน่ ๆ ก็คือ $\boxed{(p,q)=(k,-k) \ \forall k \in \mathbb{Z}}$ แล้วถ้าอีกเคสล่ะ? ก็คือกรณีที่ $p^2-pq+q^2-p-q=0$ อันนี้ก็ไม่ยากครับถ้าเราใช้ความรู้เกี่ยวกับสมการพหุนามดีกรีสองนิดหน่อย ลองปรับสมการโดยพิจารณาให้ $p$ เป็นตัวแปร ก็จะได้ว่า \begin{align*}p^2-(q+1)p+(q^2-q)=0\end{align*} ซึ่งสมการนี้มีจำนวนจริงเป็นคำตอบ ทำให้ได้ว่าค่าดิสคริมิแนนท์ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นั่นคือ \begin{align*}(q+1)^2-4(q^2-q) \ge 0 \ หรือก็คือ \ (q-1)^2 \le \frac{4}{3}\end{align*}นั่นก็หมายความว่าเป็นการเพียงพอที่จะตรวจสอบเฉพาะ $q$ มีค่าเท่ากับ $0,1,2$ ทีนี้ก็เชคเรียงตัวโดยเอาไปแทนค่าในสมการ $p^2-(q+1)p+(q^2-q)=0$ นั่นหละ
ก็จะได้คำตอบคือ $\boxed{(p,q)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)}$
นำสองคำตอบนี้มารวมกันก็จะได้ว่าคำตอบทั้งหมดคือ $(p,q)=(k,-k)\ \forall k\in\mathbb{Z}$ และ $(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)$
