อ้างอิง:
|
1. Four different three-digit numbers have the same hundreds digit. Their sum is divisible by three of them. Find the remainder when the sum is divided by the fourth number.
|
ให้จำนวนทั้งสี่คือ $a,b,c,d$ และ $s=a+b+c+d$
wlog $a|s,b|s,c|s$ และ $a<b<c$
จะได้ว่า $\dfrac{s}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{a}<\dfrac{a+2a+2a+2a}{a}=7$
สมมติ $\dfrac{s}{a}=6$
ดังนั้น $\dfrac{s}{c}>\dfrac{s}{2a}=3$ นั่นคือ $\dfrac{s}{c}=4$ และ $\dfrac{s}{b}=5$
ทำให้ $\dfrac{d}{a}=\dfrac{s-a-b-c}{a}=6-1-\dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{4}>2$ contradiction
ฉะนั้น $\dfrac{s}{a}\le5$
จาก $\dfrac{s}{c}=\dfrac{a+b+c+d}{c}>\dfrac{\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+c+\dfrac{c}{2}}{c}=\dfrac{5}{2}$
นั่นคือ $\dfrac{s}{c}=3,\dfrac{s}{b}=4,\dfrac{s}{a}=5$
จะได้ว่า $a:b:c=12:15:20$