อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hutchjang
ใช่ครับผม ผมก็คิดว่าอย่างนั้น มันต้องแยกกรณีเป็นตั้งแต่ 2 กลุ่ม ไปจนถึง 123 กลุ่มหรือเปล่าครับ แต่ว่าในแต่ละกรณีของการแบ่งกลุ่ม เราจะมีวิธีการนับอย่างไรครับ อย่างเช่นว่าเราแบ่งเป็น 10 กลุ่ม จะมีทั้งหมดกี่วิธีที่สามารถแบ่งเป็น 10 กลุ่มได้ครับ
|
นี่เป็นคำถามที่เหนื่อยครับ เช่น ถ้าเราต้องการ 2 กลุ่ม
โดยที่ถ้าคิดว่า
ลำดับก่อนหลังเป็นคนละวิธีกัน เช่น 10 + 1220 กับ 1220 + 10 เป็น 2 วิธี เป็นต้น
เราสามารถใช้ gernerating function (gf)
$(x^{10}+x^{11}+x^{12}+...)(x^{10}+x^{11}+x^{12}+...) = x^{20}\sum_{r=0}^{\infty}(r+1)x^r$
แล้วคำนวณหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{1230}$ ซึ่งจะได้ออกมาเป็น 1211
(แทนจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $a+b = 1230, a,b \ge 10$)
แต่จริง ๆ ปัญหาข้อนี้ที่โจทย์ถาม ถ้าต้องการ 2 กลุ่ม เราต้องตอบ 606 เพราะ การใช้ gf ข้อนี้จะหมายถึง
10+1220
11+1219
...
615+615
มี 606 วิธี
กับ
1220+10
1219+11
...
616+614
อีก 605 วิธี
แต่ถ้าเรา
ไม่จำกัดว่าต้องมีกี่กลุ่ม เราสามารถใช้ gf ได้ทันที
แต่การคำนวณด้วยมือทำได้ยาก
เพราะต้องหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{1230}$ จากการกระจาย
$(1+x^{10}+x^{20}+...)(1+x^{11}+x^{22}+...)(1+x^{12}+x^{24}+...)...(1+x^{1230}+x^{2460}+...)$
ลองคำนวณหาหาสัมประสิทธิ์ดูครับ ถ้าไม่รวม 1 กลุ่ม พอทำเสร็จแล้ว ลบ 1 (หัก 1230 = 1230) จะคือคำตอบของข้อนี้นั่นเอง
ถ้าสนใจก็อ่านเรื่อง partitions of integers ครับ